Треугольники, окружности и эллипсы

[vlmit]

Как известно, треугольник, образованный диаметром окружности $AB = c$ и отрезками $AC = a$ и $BC = b$, соединяющими принадлежащую данной окружности точку $C$ и концы $AB$, является прямоугольным. Проведенная к основанию $AB$ высота $CH = \frac{ab}{c}$ делит его на два отрезка $AH = \frac{a^2}{c}$ и $BH = \frac{b^2}{c}$. Исходный треугольник $ABC$ разбивается на два подобных ему $ACH$ и $BCH$.

Рассмотрим теперь случай, когда основание треугольника $AB = c$ является большой осью эллипса, а две его стороны $AC = a$ и $BC = b$ образованы отрезками, соединяющими принадлежащую данному эллипсу точку $C$ и концы $AB$. Назовем $k$ отношение малой оси исходного эллипса к большой и построим два эллипса с большими осями в виде сторон $AB$ и $BC$ и малыми осями с длинами соответственно $ak$ и $bk$. Эти эллипсы отсекут на основании $AB$ отрезки $AD$ и $BE$ с длинами $\frac{a^2}{c}$ и $\frac{b^2} {c}$, а отрезки $CD$ и $CE$ будут равны $\frac{ab}{c}$ аналогично случаю с окружностями. Треугольники $ACD$ и $CBE$ подобны треугольнику $ABC$.

Точками пересечения окружностей будут $C$ и $H$, а эллипсов - $C$ и $O$. Как найти $AO$, $BO$, $CO$ через значения $a$, $b$ и $c$? Иными словами, необходимо найти точку $O$ пересечения двух эллипсов. Изображения для обоих случаев прилагаются.

Причиной поисков послужило обдумывание и компьютерное моделирование теоремы Ферма. Если взять некий отрезок $AB = c$ в качестве основания, выбрать число $n$ и построить такое множество треугольников $ABC$ со сторонами $AB = a$, $BC = b$, что $c^n = a^n + b^n$, то точка $C$ опишет траекторию, подобную эллипсу. Если эта траектория тождественна эллипсу, то равенства ${{({\frac{a^2}{c}})}^n + {({\frac{ab}{c}})}^n = a^n}$ и ${{({\frac{b^2}{c}})}^n + {({\frac{ab}{c}})}^n = b^n}$ будут справедливы. Тогда можно предполагать, что точка $O$ задает новые разбиения сторон $AC$ и $BC$ на две степени, удовлетворяющие условию бесконечного спуска, то есть при условии $a^n + b^n = c^n; a,b,c,n \in Z$ длина отрезка $CO = m$ не будут иметь общих делителей с числами $a$, $b$ и $c$, оставаясь при этом целым числом.

В любом случае можно предположить наличие изящного решения данного случая пересечения двух эллипсов.

[Someone]

vlmit в сообщении #1385349 писал(а):

построить такое множество треугольников $ABC$ со сторонами $AB = a$, $BC = b$, что $c^n = a^n + b^n$, то точка $C$ опишет траекторию, подобную эллипсу

В каком смысле "подобную"? Если имеется в виду геометрическое подобие, то фигура, подобная эллипсу, является эллипсом. А ваша кривая при $n=2$ является окружностью радиуса $\frac c2$, а при $n>2$ совсем не эллипсом, так что она в лучшем случае "на глаз похожа". Например, для $n=3$ получается кривая десятой степени.

[vlmit]

Someone
Прошу прощения у вас и всех прочитавших за неуместное употребления слова "подобная" и благодарю за сведения относительно кривых порядка $n$. Можете направить меня в области поиска пересечения эллипсов? Я пытался решить задачу методами начертательной геометрии, представив эллипсы как проекции окружностей, однако, очевидного соотношения в построениях не получил. При поиске аналитического решения нашел упоминание метода Декарта-Эйлера, который сводится к решению уравнения четвертой степени и кажется громоздким, ведь в данной задаче эллипсы подобны, то есть прослеживается частный случай их расположения. Стоит ли вообще искать простое решение, которое возможно проиллюстрировать построением с помощью циркуля и линейки?

[Someone]

vlmit в сообщении #1385401 писал(а):

При поиске аналитического решения нашел упоминание метода Декарта-Эйлера, который сводится к решению уравнения четвертой степени

И, вообще говоря, циркулем и линейкой не решается, кроме каких-то особых случаев. Да и зачем Вам эллипсы, если ваша кривая — совсем не эллипс?

[vlmit]

Someone
Вы указали, что кривая Ферма - не эллипс, но задача с эллипсами и их точкой пересечения остается мне интересной.

Цитата:

И, вообще говоря, циркулем и линейкой не решается, кроме каких-то особых случаев.

Жаль, если этот случай не особый. На поиски простого геометрического решения задач с коническими сечениями вдохновило слово "demonstrationem" из знаменитого комментария Ферма

Цитата:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Если Ферма имел в виду не доказательство, а демонстрацию, то есть чертеж, то поля действительно могли оказаться слишком узки. Историк науки Башмакова пишет, что Ферма читал Аполлония, который написал сочинение о конических сечениях. Интересно было бы понять методы древних геометров.

(Оффтоп)

На подозрения о существовании "поистине чудесного" геометрического решения теоремы Ферма наталкивает и построение логарифмической спирали - если на сторонах равностроннего многоугольника построить еще один равносторонний многоугольник так, чтобы его вершины были недалеко от исходного, и, пользуясь отношением длин сторон двух получившихся многоугольников, строить на сторонах каждого следующего новый, то точки вершин опишут логарифмическую спираль. Для случая количества вершин $n = 2$ траектория будет прямой, а для случая $n = \infty$ - окружностью. Прямую можно представить как сечение квадрата, треугольник - куба, квадрат - гиперкуба и так далее.

[Someone]

vlmit в сообщении #1385512 писал(а):

демонстрацию, то есть чертеж

Почему Вы решили, что демонстрация — это чертёж? Продемонстрировать можно и рассуждением.

Да, был какой-то период в развитии математики, когда считалось, что для доказательства достаточно сделать чертёж и сказать: "Смотри!" Потом поняли, что это ведёт к частым ошибкам. Я в детстве читал много популярных книг по математике, и там можно было найти так называемые геометрические софизмы, в которых делался неправильный чертёж, из которого следовало что-нибудь явно абсурдное, например,что $64=65$ или ещё что-нибудь. Заметить, что чертёж неправильный, было очень трудно, и для этого требовалось не просто смотреть на чертёж, а рассуждать.

Да, по поводу знаменитого "замечания на полях". Проблема в том что этого замечания в оригинале никто из математиков или историков не видел. Его видел только сын Пьера Ферма, который и издал книгу Диофанта с замечаниями отца. Оригинал книги с замечаниями, написанными рукой Пьера Ферма, бесследно исчез, а переиздание было не факсимильным, а типографским, то есть, все тексты, включая замечания Ферма, были набраны типографским шрифтом. Сам Ферма уже в конце жизни написал письмо с перечислением задач, решение которых, по его мнению, продвинуло бы математику, и среди них была "теорема Ферма для третьей степени" (естественно, он сам эту задачу так не называл). Сама эта задача для третьей степени (в геометрической формулировке) была известна в древнем Вавилоне ещё до Пифагора (говорят, что теорему Пифагора вавилоняне знали примерно на тысячу лет раньше Пифагора).

-- Вт апр 02, 2019 16:25:05 --

vlmit в сообщении #1385512 писал(а):

Вы указали, что кривая Ферма - не эллипс

Кривой Ферма называют кривую $x^n+y^n=c^n$ (обычно берут $c=1$), у Вас же определена совсем другая кривая. Как я уже говорил, для уравнения третьей степени у Вас получается кривая десятой степени.

vlmit в сообщении #1385512 писал(а):

построение логарифмической спирали - если на сторонах равностроннего многоугольника построить еще один равносторонний многоугольник так, чтобы его вершины были недалеко от исходного, и, пользуясь отношением длин сторон двух получившихся многоугольников, строить на сторонах каждого следующего новый, то точки вершин опишут логарифмическую спираль

Построение у Вас, конечно, описано невнятно; получается не логарифмическая спираль, а некоторый ряд точек на ней.

[vlmit]

Someone
Конечно, любое геометрическое построение надо подкрепить цепью логических рассуждений. Однако, при взгляде на некоторые чертежи симметрия буквально "бросается в глаза". Исходя из этого и можно предполагать наличие простых решений. В задаче с эллипсами можно представить механическое движение точки их пересечения при "сжатии" прямоугольного треугольника по высоте, ведущей к основанию. Однако, древние, кажется, не одобряли механический подход к решению геометрических задач. Поэтому красивым будет решение с неким центром, глядя на который возможно будет увидеть все преобразования.

Допустим, комментарий на полях существовал и приведен в неизменном виде. Если поверить, что Ферма решил теорему геометрически, то делал это с помощью циркуля и линейки. "Чудесность" доказательства будет заключаться в том, что центр симметрии или линия, которую опишет их множество, будет делать его понятным каждому, а сложность, раз уж поля узки, в том, что точка или линия лежат "далеко" от исходного положения о наличии треугольника с целыми сторонами (как известно, Ферма утверждал, что доказал все свои теоремы методом бесконечного спуска).

Снова прошу прощения за плохие математические формулировки (настолько привык пользоваться чертежами) и за то, что рассуждения выходят за рамки представленной задачи. Окружность является частным случаем как эллипса, так и логарифмической спирали - хотел указать на это свойство.

-- 02.04.2019, 18:40 --

Цитата:

Кривой Ферма называют кривую $x^n+y^n=c^n$ (обычно берут $c=1$), у Вас же определена совсем другая кривая.

Благодарю, что указали на эту грубую ошибку. При моделировании я брал основание $c$ длиной в некое количество пикселей, и на нем вычислял все треугольники, удовлетворяющие уравнению $x^n+y^n=c^n$, где $x$, $y$, $c$ - стороны треугольника ($x$ и $y$ - не координаты). Затем линия, описанная не принадлежащей основанию вершиной, сравнивалась с эллипсом, большая ось которого была основанием треугольника, а малая рассчитывалась как удвоенная высота треугольника со сторонами $x$, $x$ и $c$, такими, что $2x^n=c^n$

[Someone]

vlmit в сообщении #1385538 писал(а):

Если поверить, что Ферма решил теорему геометрически, то делал это с помощью циркуля и линейки.

Видите ли, в бумагах Ферма после его смерти нашлось доказательство теоремы для четвёртой степени методом бесконечного спуска. Оно вполне элементарно и не выходит за рамки существовавших в то время идей. Доказательство теоремы для третьей степени уже требует идей, которые для того времени были бы совершенно чуждыми и непонятными. Никаких следов этих идей в бумагах Ферма нет. И тем более неизвестно никаких попыток Ферма решить какую-нибудь задачу из теории чисел геометрическими методами. Напоминаю также, что сам Ферма в конце жизни считал задачу для третьей степени не решённой. Я Вам об этом уже писал. Соответствующее письмо Ферма сохранилось и хранится в музее.

vlmit в сообщении #1385538 писал(а):

Однако, при взгляде на некоторые чертежи симметрия буквально "бросается в глаза".

Ага. Я видел чертёж, симметрия которого действительно "бросается в глаза", и, глядя на него, легко сделать вывод, что $64=65$.

vlmit в сообщении #1385538 писал(а):

Затем линия, описанная не принадлежащей основанию вершиной, сравнивалась с эллипсом, большая ось которого была основанием треугольника, а малая рассчитывалась как удвоенная высота треугольника со сторонами $x$, $x$ и $c$, такими, что $2x^n=c^n$

Ну, это как раз такой чертёж: симметрия бросается в глаза, и из него легко сделать вывод, что кривая — эллипс, хотя на самом деле она не эллипс. Так же, как и упомянутое выше "равенство" $64=65$, которое на самом деле равенством не является.

Бросайте Вы это дело, оно Вас до добра не доведёт. Если очень интересуетесь, возьмите книжку М. М. Постникова "Введение в теорию алгебраических чисел". Она вся посвящена идеям, которые использовались в попытках доказать теорему Ферма (в первом издании она называлась "Теорема Ферма"). Правда, до Уайлса.

[vlmit]

После Ваших слов о задаче для третьей степени история с теоремой Ферма воспринимается как настоящий детектив. Если не он, то кто же тогда оставил знаменитое замечание, которое заняло умы на столетия? Доказательство теоремы для четвертой степени простое и понятное; интересно, что это единственное дошедшее до нас доказательство Ферма в работах по теории чисел, как пишет Эдвардс.

Благодарю Вас за совет и рекомендацию книги и постараюсь впредь меньше размышлять над теоремой. Вероятно, решение задачи с эллипсами тоже проще искать аналитически.

(Оффтоп)

Судьба "Арифметики" Диофанта тоже загадочна. Если в известных шести из тринадцати книг предмет изложен достаточно основательно, то что же скрывали семь остальных? Доводилось встречать предположение, что как кульминацией "Начал" Евклида является построение правильных многогранников, так и в финале произведения Диофанта было нечто грандиозное

[SiberianSemion]

Вот тут много чего сказано про Ферма. Для интересующихся историей вопроса.

[Someone]

vlmit в сообщении #1385619 писал(а):

Если не он, то кто же тогда оставил знаменитое замечание, которое заняло умы на столетия?

Судя по письмам самого Пьера Ферма, он это замечание не писал. Возможно, что написал его сын. Кроме него, никто оригинал этого замечания не видел.

[vlmit]

SiberianSemion
Благодарю за ссылку на целый раздел.

Обсуждение теоремы полностью затмило задачу с эллипсами, которая сама по себе казалась интересной. Теперь, после ответов Someone, поиск геометрического решения представляется мне очень сложным. Думаю, тему можно считать завершенной.