Математический софизм о гармоническом ряде

[TOTAL]

Otta в сообщении #1384430 писал(а):

Сумма - это предел последовательности частичных сумм. При переходе к пределу в неравенстве оно превращается в нестрогое. Сумма по нечетным слагаемым не меньше $a/2$. Дальше?

Сумма по нечетным слагаемым строго больше суммы по четным слагаемым. (В каждой из сумм отдельно сравним первые слагаемые, которым предел не страшен.)

[INGELRII]

Ktina в сообщении #1384440 писал(а):

привести пример двух положительных рядов с равными суммами, но чтобы каждый $k$-тый член первого ряда был строго больше каждого $k$-того члена второго ряда при всех натуральных $k$?

Пусть существуют два таких ряда. Рассмотрим третий ряд, состоящий из разностей соответствующих членов этих двух рядов. Что получится?

[Евгений Машеров]

Otta в сообщении #1384430 писал(а):

Сумма - это предел последовательности частичных сумм. При переходе к пределу в неравенстве оно превращается в нестрогое. Сумма по нечетным слагаемым не меньше $a/2$. Дальше?

Ну, можно рассмотреть первые слагаемые каждого ряда отдельно. А для оставшихся довольствоваться нестрогим неравенством. Полагаю, хватит.

[TR63]

provincialka в сообщении #1384435 писал(а):

подумала, нет ли чего-нибудь такого... (давала студентам задачку про сумму обратных квадартов

Ограниченность суммы обратных квадратов ($S\le2-\frac1 n$) доказывается устно с помощью матиндукции .

[Otta]

Ktina в сообщении #1384446 писал(а):

mihaild, моя просьба к Otta привести пример двух положительных рядов с равными суммами... как раз и является выражением неуверенности в её правоте.

Да, неправа.

[provincialka]

TR63 в сообщении #1384491 писал(а):

Ограниченность суммы обратных квадратов

Нет, не эта задача. Зная сумму обратных квадратов, найти такую же, но знакочередующуюся сумму.

[ewert]

Ktina в сообщении #1384440 писал(а):

А не могли бы Вы привести пример двух положительных рядов с равными суммами, но чтобы каждый $k$-тый член первого ряда был строго больше каждого $k$-того члена второго ряда при всех натуральных $k$?

Перефразируем: не могли бы Вы привести пример ряда, сумма которого была бы равна нулю, но при этом каждый его член был бы строго положителен?...

-- Пн апр 01, 2019 22:46:04 --

(Оффтоп)

[b]INGELRII, пардон, не заметил второй странички

[Ktina]

ewert в сообщении #1385362 писал(а):

Ktina в сообщении #1384440 писал(а):

А не могли бы Вы привести пример двух положительных рядов с равными суммами, но чтобы каждый $k$-тый член первого ряда был строго больше каждого $k$-того члена второго ряда при всех натуральных $k$?

Перефразируем: не могли бы Вы привести пример ряда, сумма которого была бы равна нулю, но при этом каждый его член был бы строго положителен?...

Ktina в сообщении #1384446 писал(а):

... моя просьба к Otta привести пример двух положительных рядов с равными суммами... как раз и является выражением неуверенности в её правоте.

Ещё точнее, это был намёк. Скажем, человек ошибся, утверждая, что не все тигры являются млекопитающими. И этого человека просят привести пример тигра, не являющегося млекопитающим.

[gris]

Ещё немного страниц обсуждения и Святую возведут на костёр за оговорку. Мало признания ошибки! Подробное покаяние в студию! К дремлющей ипостаси врывается возбуждённый субъект и кричит, что доказал через полиморфные псевдофункции, что дважды два четыре. Ну как тут не усомниться и не наговорить чего-то спросонья?

[Korvin]

(Оффтоп)

Для меня как традиционного альтернативщика гармонический ряд расходится оттого, что ряд натуральных логарифмов чисел натурального ряда бесконечен как и сам ряд.

[mihaild]

(Оффтоп)

Korvin в сообщении #1385454 писал(а):

Для меня как традиционного альтернативщика гармонический ряд расходится оттого, что ряд натуральных логарифмов чисел натурального ряда бесконечен как и сам ряд.

Не знаю, что такое "бесконечность ряда" и как их сравнивать, но почему этот же аргумент не применим к ряду из обратных квадратов?

[Korvin]

mihaild в сообщении #1385466 писал(а):

Не знаю, что такое "бесконечность ряда" и как их сравнивать, но почему этот же аргумент не применим к ряду из обратных квадратов?

Выразился неудачно, в виду имелось что логарифм не ограничен сверху никаким выражением (от пи как в обратных квадратах, к примеру), соответсвенно и гармонический ряд разойдется.

[Someone]

Korvin в сообщении #1385476 писал(а):

логарифм не ограничен сверху никаким выражением (от пи как в обратных квадратах, к примеру), соответсвенно и гармонический ряд разойдется

Ну, это же стандартное доказательство того, что гармонический ряд расходится (а не "разойдётся"). Только до логарифмов, слава богу, доводить не надо:

$$S_{2^n}=1+\frac 12+\frac 13+\frac 14+\frac 15+\frac 16+\frac 17+\frac 18+\ldots+\frac 1{2^{n-1}+1}+\ldots+\frac 1{2^n}\geqslant$$

$$\geqslant 1+\frac 12+\underbrace{\frac 14+\frac 14}_{2}+\underbrace{\frac 18+\frac 18+\frac 18+\frac 18}_{4}+\ldots+\underbrace{\frac 1{2^n}+\ldots+\frac 1{2^n}}_{2^{n-1}}=$$

$$=1+\underbrace{\frac 12+\frac 12+\frac 12+\ldots+\frac 12}_{n}=1+\frac n2\xrightarrow[n\to\infty]{}+\infty.$$

Ну, конечно, это всё нужно сопроводить некоторыми словами.

[Korvin]

Для меня сходимость суммы гармонического ряда к логарифму основное базовое понятие, скажем так мировоззренческое. Отсюда и прочее. Никто же возбраняет вам построить геометрию, сочтя теорему Пифагора аксиомой, соотвественно перетряхнув набор традиционных аксиом.

[ewert]

Korvin в сообщении #1385486 писал(а):

Для меня сходимость суммы гармонического ряда к логарифму основное базовое понятие,

Тогда дело худо, т.к. она к нему не сходится.