Полукруг на круг

[armez]

Требуется конформно отобразить верхний полукруг единичного круга на единичный круг, причём бесконечно удалённая точка должна перейти в себя.
Если один угол временно перевести в бесконечность, то можно будет распрямить другой, но потом нужно как-то вернуть на место бесконечно удалённую точку и не испортить всё остальное.
Нужно распрямить два угла, значит, наверное, где-то должны быть множители $(1-z)^2$ и $(1+z)^2$, но подобрать подходящее преобразование не удаётся.

[Markiyan Hirnyk]

Возможно конформно отобразить $\{z:|z| < 1 \wedge \operatorname{Im} z > 0 \}$ на $\{z:|z|<1\}.$ Посмотрите ответ к 35.14, Рис. 40 в Евграфов М.А. и др. Сборник задач по теории аналитических функций.-М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1972. — 416 с.

[thething]

Markiyan Hirnyk
Такое не годится. Во-первых, не рисунок 40, а рисунок 39 (у Евграфова штриховка идёт наоборот), а во-вторых, не сохраняется значение в бесконечности. Без этого условия задача была бы тривиальной. Кажется, что тут надо поиграться с корнями, типа такого $\dfrac{?}{\sqrt{z+1}-\sqrt{z-1}}$.

[Markiyan Hirnyk]

thething
Конформное отображение полукруга $F:\{z:|z|<1 \wedge \operatorname{Im} z\} \rightarrow \{z:|z|<1 \}$ можно непрерывно продолжить на комплексную плоскость $\mathbb{C}$ так, что выполнено условие $\lim_{z\to\infty}F(z)=\infty$. Понятно, что конформное продолжение функции $F(z)$ за пределы открытого полукруга невозможно.

[Lia]

Markiyan Hirnyk
Приведите отображение здесь, пожалуйста, это меньше в человекочасах, чем каждому пользователю искать Евграфова, скачивать его и листать до нужной страницы. Можно не приводить, сделайте текст читабельным для грамотного пользователя. Например, слова "композиция дробно-линейного отображения и функции Жуковского" в состоянии переварить каждый.

[armez]

Markiyan Hirnyk, задачник Евграфова у меня под рукой, можно просто сослаться на выражение, которое удовлетворяет условию на бесконечности.

[Markiyan Hirnyk]

Lia,armez Формула для конформного отображения правого открытого единичного полукруга на открытый единичный круг следующая $z \mapsto -i\frac{z^2+2z-1}{z^2-2z-1}$. Как видим, предел этой функции на бесконечности не является бесконечностью.

[Lia]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1383893 писал(а):

предел этой функции на бесконечности не является бесконечностью.

Это обосновывает только то, что данное отображение не годится в качестве искомого.

[armez]

Markiyan Hirnyk, так ведь нужно, чтобы являлся... Может, мне следовало спросить об отображении внешности полукруга (верхнего, правого) на внешность круга.

[Markiyan Hirnyk]

Lia Выше мною указано, что можно продолжить отображение на комплексную плоскость с выполнением условия на бесконечности.

[thething]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1383884 писал(а):

Конформное отображение полукруга $F:\{z:|z|<1 \wedge \operatorname{Im} z\} \rightarrow \{z:|z|<1 \}$ можно непрерывно продолжить на комплексную плоскость $\mathbb{C}$ так, что выполнено условие $\lim_{z\to\infty}F(z)=\infty$.

А не подскажете, как именно? У меня чего-то все попытки приводят к тому, что бесконечность попадает на границу круга.

[Markiyan Hirnyk]

thething
Непрерывно продолжаем функцию $F(z):=-i\frac{-z^2+2iz-1}{-z^2-2iz-1}$ на границу полукруга,
тогда граница полукруга гомеоморфно отображается на единичную окружность, причем $F(0)=-i$.
Затем непрерывно продолжаем функцию $F$ на внешность замкнутого полукруга следующим образом.
Пусть $z_0\in \partial \{z:|z|<1\wedge \operatorname{Im}z >0\}, z_0\neq 0$ - точка на границе полукруга ,
тогда при $t\ge 0$ задаем $F((1+t)z_0):=(1+t)F(z_0),\, F(-it):=-i(t+1)$.

[Markiyan Hirnyk]

Поправляю неточность: выше вместо $F((1+t)z_0)$ должно быть $F(z_0+t\exp (i\arg F(z_0)))$.

[Otta]

Что в Евграфове, что здесь дурная постановка задачи: требовать что-либо от отображения вне области определения несколько странно.

Более логичным было бы перевести внешность полудиска на внешность диска конформно с сохранением бесконечно удаленной точки неподвижной, эта задача решается спокойно.

[thething]

Otta в сообщении #1385117 писал(а):

Более логичным было бы перевести внешность полудиска на внешность диска конформно с сохранением бесконечно удаленной точки неподвижной, эта задача решается спокойно.

Поддерживаю) После всех тщетных попыток решить исходную задачу, такая переформулировка решается просто влёт. У Евграфова же с постановкой явно что-то не так. Во-первых, пунктом 1 там просят отобразить плоскость с разрезом по дуге на круг с сохранением значения на бесконечности, а как такое возможно, если бесконечная точка лежит внутри области и переходит опять же вовнутрь области? Во-вторых, ответы там при проверке вообще не то описывают.

По исходной же задаче думаю что она тоже решается, но с оговоркой, что это должен быть не полукруг, а круговая луночка или круговая "шапочка", причем обязательно с углом не вида $\frac{\pi}{k}$ (при выпрямлении такого угла попадаем на действительную ость, туда же, куда и бесконечная точка).