Вторая частная производная.

[oleg_2019]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться.

Нужно вычислить производную $f''_{vv}$, если $f(x,y)=\arctg(\sqrt{x^y})$, если $x=u^2+v^2$, $y=7uv$

Я понимаю, что $f'_v=f'_xx'_v+f'_yy'_v$

Но как можно вычислить $f''_{vv}$?

Может как-то так?

$$f''_{vv}=(f'_xx'_v+f'_yy'_v)'_v=(f'_xx'_v)'_v+(f'_yy'_v)'_v=(f'_x)'_vx'_v+f'_x(x'_v)'_v+y'_v(f'_y)'_v+f'_y(y'_v)'_v$$

[Pphantom]

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial v^2} = \frac{\partial}{\partial v} \left(\frac{\partial f}{\partial v}\right) $$

Конечно, итоговый результат можно попытаться записать сразу в общем виде, но зачем, если нужно сосчитать конкретную производную?

[oleg_2019]

Спасибо. Хорошо. Для начала перепишем функцию в более удобном виде $f(x,y)=\arctg(x^{0,5y})$, где $x=u^2+v^2$, $y=7uv$

$\dfrac{\partial f}{\partial v}=\dfrac{yx^{0,5y-1}}{2+2x^y}\cdot 2v+\dfrac{yx^{0,5y}\ln(x)}{2+2x^y}\cdot 7u$

Кстати, этот результат считается уже окончательным для $\dfrac{\partial f}{\partial v}$? Или нужно подставлять $x=u^2+v^2$, $y=7uv$?

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial v^2} = \dfrac{\partial}{\partial v} \left(\dfrac{\partial f}{\partial v}\right)=\dfrac{\partial}{\partial v} \left(\dfrac{yx^{0,5y-1}}{2+2x^y}\cdot 2v+\dfrac{yx^{0,5y}\ln(x)}{2+2x^y}\cdot 7u\right)=?$

А дальше нужно во внутренность скобок подставлять $x=u^2+v^2$, $y=7uv$ и в лоб считать? Или как-то иначе, через производную суммы, производную произведения итп? Или вообще все не так?))

[mihaild]

Кажется в первой производной вы в $x^\prime_v$ опечатались (там двойка должна быть).

oleg_2019 в сообщении #1384956 писал(а):

А дальше нужно во внутренность скобок подставлять $x=u^2+v^2$, $y=7uv$ и в лоб считать?

Можно подставить, конечно. Но можно и аналогично предыдущему: посчитать частные производные по $x$ и $y$ и умножить их на частные производные по $u$ и $v$. Только не забыть что теперь зависимость от $v$ в явном виде появилась - так что нужно и частную производную по $v$ не забыть (в ней рассматривая $x$ и $y$ как независимые переменные).

[oleg_2019]

mihaild в сообщении #1384957 писал(а):

Кажется в первой производной вы в $x^\prime_v$ опечатались (там двойка должна быть).

Спасибо, исправил!
Даже не знаю - как будет проще, может так скомбинировать?

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial v^2} =\dfrac{\partial}{\partial v} \left(\dfrac{yx^{0,5y-1}}{2+2x^y}\cdot 2v+\dfrac{yx^{0,5y}\ln(x)}{2+2x^y}\cdot 7u\right)=\dfrac{\partial}{\partial v} \left(\left(\dfrac{yx^{0,5y-1}}{2+2x^y}\right)\cdot \left(2vxy+7u\ln x\right)\right)$

$g(x,y)=\dfrac{yx^{0,5y-1}}{2+2x^y}$

$h(u,v)=2v(u^2+v^2)7uv+7u\ln (u^2+v^2)$

А дальше в $h$ раскрыть скобки и в лоб посчитать, а $g(x,y)$ пересчитать через $g'_v=g'_xx'_v+g'_yy'_v$?

А после $f'=g'h+h'g$

[oleg_2019]