Пусть

- фиксированное натуральное число.
Алиса и Боб, не общаясь друг с другом, играют в следующую игру. В каждом раунде ведущий независимо и равномерно генерирует две случайные последовательности

и

длины

из нулей и единиц. Последовательность

показывается Алисе в тайне от Боба, после этого Алиса называет ведущему число

,

. Аналогично, последовательность

показывается Бобу в тайне от Алисы, и он после этого называет ведущему число

,

.
Если оказывается, что

, то Алиса и Боб выигрывают раунд; иначе - проигрывают.
Понятно, что если Алиса и Боб всегда называют некоторые фиксированные числа (независимо от увиденных

и

), например

, то раунд выигрывается с вероятностью

.
1) Докажите, что есть стратегия, придерживаясь которой, Алиса и Боб выигрывают с вероятностью

(при

).
2) Какова максимально достижимая вероятность выигрыша в такой игре? (как функция от

или при

)