Страшное интегро-дифференциальное уравнение

[Алексей К.]

Парджеттер в сообщении #138315 писал(а):

venja в сообщении #138199 писал(а):
2. Странно, что интегрирование идет по х. Если это правда, то весь интеграл есть константа. Тогда просто. Интеграл заменить константой (пока неопределенной), решить дифур простого вида (двойным интегрированием), потом искать значение констант в решении.

Вот этого, признаться, я не понял. Если бы он был константой, то ситуация бы упростилась.

Вмдимо, имеется в виду некорректность такого типа: выражение вроде

$$y'(x)=\int e^x dx$$

(аналог Вашего) следовало бы записать как-то типа

$$y'(x)=\int_a^x e^\xi d\xi}$$

(с введением переменной интегрирования, аналога индекса суммирования в $\sum_{i=0}^n$; кажется, $i$ и $\xi$ в этом контексте называются немыми переменными ). И тогда с дифференцированием его проблем нет. Не знаю (узнать было бы интересно), как эта некорректность (часто встречаемая) трактуется, например, редакторами математических публикаций. Как (не?)допустимая? Ну, а встречается она чаще всего в виде
$\int_a^x f(x) dx$.

Ну, а по сути задачи комментариев от себя не жду. Не моя сфера.

Парджеттер в сообщении #138315 писал(а):

А здесь работает утверждение о убывании уверенности с номером пункта?

От того и мои "уверенности в уместности" малозначимы.

Добавлено спустя 33 минуты:

Ну, а если продолжить редакторские придирки, которые, полагаю, небесполезны, то возражения вызывает и следующее:

Парджеттер в сообщении #138315 писал(а):

Да, можно продифференцировать и получить уравнение третьего порядка. ... Я просто подумал, что, быть может, можно как-либо это уравнение упростить, оставаясь в рамках уравнения второго порядка.

Вы не остаётесь в рамках уравнения второго порядка. Так же, как и кубическое уравнение $x^3-1=0$ не стало квадратным после преобразования к $x^2-1/x=0$. И это не просто словесная аналогия, а сильная аналогия, по существу дела.
Дифференцирование (этого) уравнения, как мне кажется, есть его эквивалентное преобразование. Частично проинтегрировав, Вы не попали в сферу инегральных или интегро-дифференциальных уравнених (ну, может только их тривиальных типов, которые мгновенно сводятся к дифференциальным). И Вы тем самым скрыли от себя тот факт, что копать надо именно теорию дифф. уравнений (высоких прядков).

Парджеттер писал(а):

И даже получил его численное решение. Но оно весьма неправдоподобное.

Но это бьло решение Вашего "интегро-дифференциального уравнения"! Разве не так?

Алексей К. в сообщении #138318 писал(а):

Вы не остаётесь в рамках уравнения второго порядка.

Ну да, если бы где-то красивенько сработало бы интегрирование по частям --- остались бы. Но это, скорее всего, означало бы, что (эквивалентно тому, что) возясь с ДУ-3 мы быстренько нашли бы способ понизить порядок.

Добавлено спустя 1 час 36 минут 32 секунды:

Ну, а уравненьице-то третьего порядка выглядит беленьким и пушистеньким, по сравнению с изначальными монстром...

[venja]

Парджеттер писал(а):

venja в сообщении #138199 писал(а):

1. Странно, что интеграл - неопределенный (понятно почему).

Вы имеете в виду, что можно продифференцировать?

Странность в том, что, если интеграл неопределенный, то в уравнении слева стоит одна функция, а справа мнжество функций мощности континуум. Как между ними может быть знак равенства?

Парджеттер писал(а):

venja в сообщении #138199 писал(а):

2. Странно, что интегрирование идет по х. Если это правда, то весь интеграл есть константа. Тогда просто. Интеграл заменить константой (пока неопределенной), решить дифур простого вида (двойным интегрированием), потом искать значение констант в решении.

Вот этого, признаться, я не понял. Если бы он был константой, то ситуация бы упростилась.
______________________________________________

Если интеграл по х, то после интегрирования зависимость по х пропадает и то, что остается от интеграла, не зависит от х, т.е. является константой (хотя засисимость от дельта остается (но это ничему не мешает).Воможно интегрирование не по х, по дельта?

[ГАЗ-67]

А что описывает данное уравнение ? Может быть удасться провести линеаризацию каких-то величин ? Я имею ввиду следующее : разбить область задания независимой переменной на отрезки в пределах которых некие величины можно считать линейными .

[e7e5]

ГАЗ-67 писал(а):

А что описывает данное уравнение ?

Можно ли описываемое явление, дифур представить в виде скажем какой-то "эквивалентной схемы", которую легко считают.

Например, некой электрической схемой, в которую загоняется сигнал - а потом "потестить" эту схему в какой-то проге.

[Парджеттер]

venja в сообщении #138349 писал(а):

Странность в том, что, если интеграл неопределенный, то в уравнении слева стоит одна функция, а справа мнжество функций мощности континуум. Как между ними может быть знак равенства?

Я понимаю. Но это просто пустой формализм. На самом деле так никто никогда не пишет, кроме математиков, которые уделяют этому внимание.

Алексей К. в сообщении #138318 писал(а):

Не знаю (узнать было бы интересно), как эта некорректность (часто встречаемая) трактуется, например, редакторами математических публикаций.

Математических - не знаю. Но все физики, которых я знаю (среди них есть и академики РАН) записывают именно так и ни о чем не думают

venja в сообщении #138349 писал(а):

Если интеграл по х, то после интегрирования зависимость по х пропадает и то, что остается от интеграла, не зависит от х, т.е. является константой (хотя засисимость от дельта остается (но это ничему не мешает).Воможно интегрирование не по х, по дельта?

Это снова пустой формализм. И по-моему Вы меня не до конца поняли одну вещь.

$$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C$$

Полученный результат, очевидно, зависит от $x$. Или, более общо,

$$ \int f(x) dx = F(x) + C \longrightarrow F(x)=\int f(x) dx - C$$

что и записано в приведенном уравнении. Константа - определена.

Добавлено спустя 6 минут 18 секунд:

Алексей К. в сообщении #138318 писал(а):

Частично проинтегрировав, Вы не попали в сферу инегральных или интегро-дифференциальных уравнених

Я его не интегрировал. Это результат преобразования системы ДУ, которая требует двух начальных условий.

Алексей К. в сообщении #138318 писал(а):

И Вы тем самым скрыли от себя тот факт, что копать надо именно теорию дифф. уравнений (высоких прядков).

Да, в общем-то, я сразу это понял. Я просто подумал, что, быть может, чисто случайно, я что-то упустил и профессионалы увидят. Дело в том, что уравнение третьего порядка математически ничего не меняет. А вот физически - меняет. Нужно еще одно условие - физическое. А лишнее условие = лишнее допущение.

ГАЗ-67 в сообщении #138397 писал(а):

А что описывает данное уравнение ? Может быть удасться провести линеаризацию каких-то величин ?

Да тут почти все уже линеаризовано, что можно.

ГАЗ-67 в сообщении #138397 писал(а):

Я имею ввиду следующее : разбить область задания независимой переменной на отрезки в пределах которых некие величины можно считать линейными .

Тут такая штука - разбить можно. Но это не совсем разбиение, сколько некоторые почти предельные переходы. То есть получим решение в двух областях, а вот сшивка решений будет проблемой еще большей, чем решение вот этого ДУ.

e7e5 в сообщении #138507 писал(а):

Можно ли описываемое явление, дифур представить в виде скажем какой-то "эквивалентной схемы", которую легко считают.

Например, некой электрической схемой, в которую загоняется сигнал - а потом "потестить" эту схему в какой-то проге.

А смысл? Это уравнение решается численно.

[Someone]

Парджеттер писал(а):

venja в сообщении #138349 писал(а):

Странность в том, что, если интеграл неопределенный, то в уравнении слева стоит одна функция, а справа мнжество функций мощности континуум. Как между ними может быть знак равенства?

Я понимаю. Но это просто пустой формализм. На самом деле так никто никогда не пишет, кроме математиков, которые уделяют этому внимание.

Алексей К. в сообщении #138318 писал(а):

Не знаю (узнать было бы интересно), как эта некорректность (часто встречаемая) трактуется, например, редакторами математических публикаций.

Математических - не знаю. Но все физики, которых я знаю (среди них есть и академики РАН) записывают именно так и ни о чем не думают

Я что-то не понял. Надеюсь, Вы не полагаете, что $\int f(x)dx$ означает конкретную, вполне определённую функцию?
Давайте возьмём $\int\frac{dx}x$ и применим к нему формулу интегрирования "по частям" ($\int udv=uv-\int vdu$), взяв $u=\frac 1x$ и $dv=dx$. Тогда $du=-\frac{dx}{x^2}$, $v=x$, и мы получаем $\int\frac{dx}x=1+\int\frac{dx}x$.
Вы будете настаивать, что $\int\frac{dx}x$ в левой части равенства и $\int\frac{dx}x$ в правой части равенства означают одну и ту же функцию?
Такие фокусы, вероятно, можно придумать и с заменой переменных. Вообще, при вычислении неопределённого интеграла разными методами порой получаются весьма непохожие выражения (даже не обязательно отличающиеся на константу).

Но, надо сказать, при решении дифференциальных уравнений принято все постоянные интегрирования указывать явно, даже если неопределённый интеграл не вычислен. То есть, решение уравнения $y'=1$ записывается в виде $y=\int dx+C$, а под $\int dx$ подразумевается произвольно выбранная первообразная, а не множество всех первообразных. Поэтому "записывают именно так".

[ewert]

Алексей К. писал(а):

Вмдимо, имеется в виду некорректность такого типа: выражение вроде

$$y'(x)=\int e^x dx$$

(аналог Вашего) следовало бы записать как-то типа

$$y'(x)=\int_a^x e^\xi d\xi}$$

В данной ситуации -- следовало бы безусловно. Иначе константа цэ-четыре попросту не определена.

[Парджеттер]

Someone писал(а):

Но, надо сказать, при решении дифференциальных уравнений принято все постоянные интегрирования указывать явно, даже если неопределённый интеграл не вычислен. То есть, решение уравнения $y'=1$ записывается в виде $y=\int dx+C$, а под $\int dx$ подразумевается произвольно выбранная первообразная, а не множество всех первообразных. Поэтому "записывают именно так".

А я именно так это и записал.

На то, что Вы написали чуть выше, я полагаю я ответил в предыдущем сообщении. Это чуть ниже того, что Вы процитировали. Если, конечно, я правильно Вас понимаю, а Вы, соответственно - меня.

ewert в сообщении #138931 писал(а):

В данной ситуации -- следовало бы безусловно. Иначе константа цэ-четыре попросту не определена.

Я не понимаю, Вы все что ли не дочитываете

Парджеттер в сообщении #138784 писал(а):

что и записано в приведенном уравнении. Константа - определена.

[ewert]

Парджеттер писал(а):

Я не понимаю, Вы все что ли не дочитываете

Да, каюсь, не всё, слишком много букафф. Но, может, это и к лучшему? Ибо утверждение

Парджеттер в сообщении #138784 писал(а):

$$ \int f(x) dx = F(x) + C \longrightarrow F(x)=\int f(x) dx - C$$

что и записано в приведенном уравнении. Константа - определена.

-- совершенно неверно. Она была бы определена, если б слева стоял не неопределённый интеграл, т.е. мн-во всех первообразных, а некая конкретная.

[Парджеттер]

ewert писал(а):

Она была бы определена, если б слева стоял не неопределённый интеграл, т.е. мн-во всех первообразных, а некая конкретная.

Да, я понял, что Вы хотите сказать.

[ewert]

А я вот сам, честно говоря, не совсем понял.

Вот какой вопрос на самом деле интересен. У Вас там две группы констант -- $C$ и $K$. Ну $K$ -- это, надо полагать, некие внешние параметры задачи. А вот что такое $C$? (их три штуки, т.к. $C_4$ фиктивна)

[Парджеттер]

ewert в сообщении #138945 писал(а):

А я вот сам, честно говоря, не совсем понял.

Нет, я имею в виду, что я понял то, что говорили Вы и Someone про неопределенный интеграл. Я прошу меня извинить за танковость, просто я сейчас вернулся к таким занятиям после 2х-летнего перерыва, поэтому периодически меня охватывают приступы тупизма. Спасибо Вам за разъяснения.

ewert писал(а):

Вот какой вопрос на самом деле интересен. У Вас там две группы констант -- $C$ и $K$. Ну $K$ -- это, надо полагать, некие внешние параметры задачи. А вот что такое $C$? (их три штуки, т.к. $C_4$ фиктивна)

Ну это на самом деле не имеет такого глубокого смысла. Это либо тоже какие-то вполне определенные параметры, либо константы, которые определены при решении других дифференциальных уравнений, то есть, по сути, тоже уже параметры.

Я, вообще, имею такую проблему. Вот то, что сейчас я выставил это уравнение более полное, нежели упрощенное, которое я раньше решал. Я знаю какое должно получиться решение (я имею в виду из физических соображений). Но оно таким не получается. Зато вторая производная решения получается такой, каким должно быть само решение... Модель вроде уже проверяли...

[ewert]

Парджеттер писал(а):

Я, вообще, имею такую проблему. Вот то, что сейчас я выставил это уравнение более полное, нежели упрощенное, которое я раньше решал. Я знаю какое должно получиться решение (я имею в виду из физических соображений). Но оно таким не получается. Зато вторая производная решения получается такой, каким должно быть само решение... Модель вроде уже проверяли...

Вот мне и непонятно, что значит "не получается". Это ведь фактически нелинейное уравнение 3-го порядка. Зависит от 3-х произвольных постоянных. При каком наборе постоянных не получается?

Есть вот какая гипотеза. Поскольку коэффициенты $C$ в записи этого уравнения сами определяются некоторыми загадочными начальными условия -- не исключено, что эти условия вступают в конфликт с начальными условиями для данного уравнения.

[venja]

Кстати, много работал с физиками. Ситуация типичная.Основная проблема - в правильной математической постановке задаче. Очень долго бывает трудно понять, что же им надо. Приходится идти от физической постановки задачи (хотя в физике я разбираюсь значительно хуже), пытаясь выудить из рассказа математическую постановку задачи.Часто она оказывается совсем не такой, как ее преподносили.

[Парджеттер]

ewert в сообщении #138949 писал(а):

Вот мне и непонятно, что значит "не получается". Это ведь фактически нелинейное уравнение 3-го порядка. Зависит от 3-х произвольных постоянных. При каком наборе постоянных не получается?

Да, в общем-то, при любом.
Я, наверное, скоро выложу соответствующую тему в разделе "Физика", чтобы разобраться с моделью.

ewert в сообщении #138949 писал(а):

Есть вот какая гипотеза. <...>

Может быть и такое...

venja в сообщении #138970 писал(а):

Кстати, много работал с физиками. Ситуация типичная.Основная проблема - в правильной математической постановке задаче. Очень долго бывает трудно понять, что же им надо. Приходится идти от физической постановки задачи (хотя в физике я разбираюсь значительно хуже), пытаясь выудить из рассказа математическую постановку задачи.Часто она оказывается совсем не такой, как ее преподносили.

Наверное, Вы правы.
Я, правда, себя физиком не считаю, но думаю, что ко мне это применимо еще в большей мере. Правда здесь случай иной - эту модель я составлял вместе с академиком-физиком.