Вопросы о подгруппах групп матриц и симметрической группы

[PeterSam]

Здравствуйте! Есть сложности с решением следующих задач.
1. Пусть дана группа $G$ невырожденных квадратных матриц размера $2 \times 2$ над полем $\mathbb{Q}$. Групповая операция - умножение матриц.
Рассмотрим множество таких невырожденных квадратных матриц размера $2 \times 2$, которые при возведении в шестую степень дают единичную матрицу. Обозначим это множество $M_{6} (G)$.
Доказать, что $M_{6} (G)$ не является подгруппой $G$.

Я понимаю (и это подтверждает преподаватель), что нужно предъявить две такие квадратные матрицы размера $2 \times 2$, которые при возведении в 6-ю степень дают единичную матрицу, но произведение этих матриц в 6-й степени - уже не единичная матрица. Но вот как подобрать такие матрицы? Быть может, есть какой-то алгоритм?

2. Аналогичный вопрос - о группе подстановок пятой степени $S_{5}$. Групповая операция - композиция (умножение) подстановок.
Рассмотрим множество таких подстановок пятой степени, которые при возведении в пятую степень дают тождественную подстановку. Обозначим это множество $T_{5} (S_{5})$.
Доказать, что $T_{5} (S_{5})$ не является подгруппой $S_{5}$.

[iifat]

Второе проще. Разложите перестановку на циклы... Хм. А точно не является-то?

[Munin]

PeterSam в сообщении #1385025 писал(а):

Я понимаю (и это подтверждает преподаватель), что нужно предъявить две такие квадратные матрицы размера $2 \times 2$, которые при возведении в 6-ю степень дают единичную матрицу, но произведение этих матриц в 6-й степени - уже не единичная матрица. Но вот как подобрать такие матрицы? Быть может, есть какой-то алгоритм?

Подсказка: $(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)\ne (AAAAAA)(BBBBBB).$

(И думаю, задачу проще решить для 2-й степени, а потом это решение уже сгодится и для 6-й.)

[ET]

iifat в сообщении #1385059 писал(а):

Второе проще. Разложите перестановку на циклы... Хм. А точно не является-то?

Точно не должно являться. Смысл этого множества - циклы длины 5 и единичка, а мне, как куберу, нередко попадается, что произведение двух 5тициклов в $S_5$ может быть трициклом. И парочкой транспозиций тоже (щас проверил)

[mihiv]

PeterSam в сообщении #1385025 писал(а):

как подобрать такие матрицы?

Поискать среди матриц с матричными элементами $0, 1, -1.$

[ET]

1 Мне, вот совет Munin помог и я
1. Увидел, что все матрицы вида
$\begin{pmatrix} 1& a\\ 0& -1 \end{pmatrix}$
В квадрате дают единицу. Далее подобрал два равзных $a$ таких, что их произведение стало таким, что из в любой сепени сразу назову и в шестой-то степени, как и во второй они не единицы

2. Можно проще: посчитаnь число элементов множества. Не забыть единицу. Я то знаю, что это в моих игрушках это 3 вида пятициклов у каждого из котрых группа симметрий из 8ми элементов, но это можно получить из чисто комбинаторных соображений как $4\cdot3\cdot2$ Добавить к ним единичку и получить 25 элементов. А на это число не делится ни 120 ни 60. Следовательно это нее подгруппа ни $A_5$ ни $S_5$