Неравенство от четырёх переменных

[arqady]

Для положительных $a$, $b$, $c$ и $d$ докажите, что:

$$\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+d}{a^2+b^2+d^2}+\frac{a+c+d}{a^2+c^2+d^2}+\frac{b+c+d}{b^2+c^2+d^2}\geq\frac{4(a+b+c+d)}{a^2+b^2+c^2+d^2}.$$

[Edward_Tur]

Рассмотрим числитель разности дробей ($m\ge n$)

$$\frac{a^n+b^n+c^n}{a^m+b^m+c^m}+\frac{a^n+b^n+d^n}{a^m+b^m+d^m}+\frac{a^n+c^n+d^n}{a^m+c^m+d^m}+\frac{b^n+c^n+d^n}{b^m+c^m+d^m}-4\frac{a^n+b^n+c^n+d^n}{a^m+b^m+c^m+d^m}.$$

Запишем его так, чтобы можно было использовать неравенство Мюрхеда:

$$\left(\sum a^{4m}b^n-\sum a^{3m+n}b^m\right)+\left(\sum a^{3m}b^{m+n}-\sum a^{2m+n}b^{2m}\right)+$$ $$+\left(\sum a^{3m}b^mc^n-\sum a^{2m+n}b^mc^m\right)+\left(\sum a^{2m}b^mc^md^n-\sum a^{m+n}b^mc^md^m\right)\ge0.$$