Найти координаты одной системы координат в другой по прямой

[Евгеша]

Допустим, есть две декартовых системы координат и есть прямая, уравнение которой мы знаем в обоих этих системах. Как найти взаимное расположение систем координат (например, координаты начала координат второй системы в первой и угол поворота)?

P.S. Интересен как случай плоскости, так и пространства.

[Someone]

Евгеша в сообщении #1384582 писал(а):

Как найти взаимное расположение систем координат

Никак. Какие-то ограничения на взаимное расположение, разумеется, есть, но однозначно определить угол и начало координат невозможно. Даже если забыть, что системы координат могут иметь разную ориентацию.
Вы бы попытались решить эту задачу самостоятельно, глядишь, и спрашивать не пришлось бы. Хотя бы, зная ответ, объясните, почему он такой.

[Евгеша]

Цитата:

Вы бы попытались решить эту задачу самостоятельно, глядишь, и спрашивать не пришлось бы.

В том то и дело, что попытался, но ничего не придумал. Решил, что поскольку аналитическую геометрию изучал очень давно, то из головы уже все выветрилось.

Someone в сообщении #1384584 писал(а):

Никак. Какие-то ограничения на взаимное расположение, разумеется, есть, но однозначно определить угол и начало координат невозможно. Даже если забыть, что системы координат могут иметь разную ориентацию....Хотя бы, зная ответ, объясните, почему он такой.

Честно говоря, был на 100 % уверен, что можно и даже не очень сложно. Ваш ответ привел меня в небольшое замешательство.

[svv]

Подсказка: длинная прямая стальная спица и сырая картофелина.

[Евгеша]

svv в сообщении #1384591 писал(а):

Подсказка: длинная прямая стальная спица и сырая картофелина.

Понял. А если прямую заменить ломаной?

[Someone]

Евгеша в сообщении #1384598 писал(а):

А если прямую заменить ломаной?

Достаточно трёх точек, не лежащих на одной прямой.

[svv]

После этого могут остаться только дискретные симметрии.

[Someone]

svv в сообщении #1384607 писал(а):

После этого могут остаться только дискретные симметрии.

Предполагается, что точки помеченные, так что перепутать их нельзя, даже если они образуют симметричную фигуру.

[Евгеша]

Спасибо за ответы. То, что прямая не подходит, я понял. Переверну вопрос в обратную сторону. Допустим, есть 2 сканера, которые могут считывать координаты точек в собственной системе координат. При этом сканеры обладают ограниченным диапазоном, то есть общих точек, попадающих в область видимости обоих сканеров, может и не быть. Прямая была хороша тем, что в силу своей протяженности попадала в оба сканера, как бы далеко они не были расположены. Какой геометрический объект тогда бы подошел лучше, чтобы можно было вычислить координаты одного сканера с системе координат другого?

[eugensk]

Евгеша
Если точки не различимы, то https://en.wikipedia.org/wiki/Aperiodic_tiling
если различимы (помечены), решетка точек с целыми координатами.

[TOTAL]

(Оффтоп)

Евгеша в сообщении #1384598 писал(а):

svv в сообщении #1384591 писал(а):

Подсказка: длинная прямая стальная спица и сырая картофелина.

Понял. А если прямую заменить ломаной?

Понял. А если сырую картофелину заменить варёной?

[arseniiv]

Евгеша в сообщении #1384706 писал(а):

Какой геометрический объект тогда бы подошел лучше, чтобы можно было вычислить координаты одного сканера с системе координат другого?

eugensk в сообщении #1384708 писал(а):

Если точки не различимы, то https://en.wikipedia.org/wiki/Aperiodic_tiling
если различимы (помечены), решетка точек с целыми координатами.

Можно в некотором роде объединить эти два предложения в третье поближе к практике: взять ту же прямую, но поставить на ней достаточно плотно (чтобы в отдельную область сканирования влезало не меньше двух, а для точности ещё побольше) деления (смотрящие в одну и ту же сторону! или на самой прямой нарисовать стрелочки в одном направлении) и пронумеровать их. Придётся, конечно, распознавать деления, числа около них и маркеры ориентации (стрелки или с какой стороны стоят деления), но если это не нужно автоматизировать, всё просто. Если нужно, то даже полуавтоматический процесс с участием человека будет неплохой вещью. Ну и в принципе числа можно заменить фигурами из чётко различимых точек с какой-то стороны от деления, умещающихся в фиксированного размера круг, что может быть проще распознавать. И т. п..

Можно ограничиться только нумерацией делений, если известно, что сканеры одинаково ориентированы и там нигде не включено отражение картинки: стрелки или направление делений — только чтобы определиться с ориентацией.

[Евгеша]

Someone в сообщении #1384604 писал(а):

Достаточно трёх точек, не лежащих на одной прямой.

А не много ли будет трех точек? Ведь преобразование координат на плоскости задается системой:

$$\begin{cases}x'=x_0+x\cos{\varphi}-y\sin{\varphi}\\y'=y_0+x\sin{\varphi}+y\cos{\varphi}\end{cases}$$

Для нахождения взаимного расположения систем координат достаточно найти 3 параметра: $x_0$, $y_0$ и $\varphi$.
Т. е. в случае если нам известны координаты одной точки в обеих СК - $(x_1, y_1)$ и $(x_1', y_1')$, то мы уже получим 2 уравнения относительно трех неизвестных:

$$\begin{cases}x_1'=x_0+x_1\cos{\varphi}-y_1\sin{\varphi}\\y_1'=y_0+x_1\sin{\varphi}+y_1\cos{\varphi}\end{cases}$$

Если же нам известны две точки, то мы уже получаем переопределенную систему 4х уравнений относительно трех неизвестных:

$$\begin{cases}x_1'=x_0+x_1\cos{\varphi}-y_1\sin{\varphi}\\y_1'=y_0+x_1\sin{\varphi}+y_1\cos{\varphi}\\ x_2'=x_0+x_2\cos{\varphi}-y_2\sin{\varphi}\\y_2'=y_0+x_2\sin{\varphi}+y_2\cos{\varphi}\end{cases}$$

Или я что-то не понимаю?

[eugensk]

Евгеша
Двух точек недостаточно, чтобы различить отражение (ситуацию, когда один из сканеров перевернулся). Трех хватит, даже если координаты не прямоугольные и не нормированные (сканеры из сколково, инновационные). В-общем, три точки лучше.

[Евгеша]

eugensk в сообщении #1385233 писал(а):

Евгеша
Двух точек недостаточно, чтобы различить отражение (ситуацию, когда один из сканеров перевернулся). Трех хватит, даже если координаты не прямоугольные и не нормированные (сканеры из сколково, инновационные). В-общем, три точки лучше.

Я правильно понимаю, что если у меня известны координаты трех точек в двух декартовых СК: $(x_1, y_1)$, $(x_1', y_1')$, $(x_2, y_2)$, $(x_2', y_2')$, $(x_3, y_3)$, $(x_3', y_3')$, то для нахождения координат 2й СК в первой: $x_0$, $y_0$ и $\varphi$, достаточно будет решить следующую систему:

$$\begin{cases}x_1'=x_0+x_1\cos{\varphi}-y_1\sin{\varphi}\\y_1'=y_0+x_1\sin{\varphi}+y_1\cos{\varphi}\\ x_2'=x_0+x_2\cos{\varphi}-y_2\sin{\varphi}\\y_2'=y_0+x_2\sin{\varphi}+y_2\cos{\varphi}\\ x_3'=x_0+x_3\cos{\varphi}-y_3\sin{\varphi}\\y_3'=y_0+x_3\sin{\varphi}+y_3\cos{\varphi}\end{cases}$$

?
Просто меня смущает, что неизвестных всего 3, а уравнений аж 6 штук.