В евклидовой метрике поворот сохраняет расстоян., а в L1-нет

[bubu gaga]

Вопрос наверное покажется праздными и странным, но почему в евклидовой метрике поворот сохраняет расстояние, а например в $L_1$ нет?

[Really]

Группой изометрии евклидовой метрики является группа унитарных преобразований,
т.е. для любого унитарного преобразования $U$ справедливо $\|Ux\|_E=\|x\|_E$.
Для $l_1$ метрики это будет группа матриц в каждой строке и каждом столбце, которой
присутствует всего один ненулевой элемент по модулю равный 1. Это математическое
объяснение.

А вообще-то это кажется очевидным. Евклидова метрика - аналог привычного нам
расстояния в 3-х мерном пространстве. Должно представляться вполне логичным,
что поворот всех точек не изменит расстояний между ними - это просто из житейского
опыта, так сказать. А вот $l_1$ норма это уже что-то другое.

[e7e5]

Really писал(а):

А вообще-то это кажется очевидным. Евклидова метрика - аналог привычного нам
расстояния в 3-х мерном пространстве. Должно представляться вполне логичным,
что поворот всех точек не изменит расстояний между ними - это просто из житейского
опыта, так сказать. А вот $l_1$ норма это уже что-то другое.

Иными словами это просто аксимомы?
Насчет житейского опыта как-то не все очевидно

[Профессор Снэйп]

Да нет, тут всё, как мне кажется, совсем очевидно.

Что такое "поворот"? Это движение пространства "вдоль окружностей", то есть такое движение, при котором окружности переходят сами в себя. Ну действительно, вот возьмём ось, воткнём её в начало координат и начнём всё вокруг неё поворачивать. Тогда расстояние от "поворачиваемых" точек пространства до оси не меняется и "окружности", то есть линии, характеризующие постоянство расстояний до оси, ползут сами по себе.

Окружности в евклидовой метрике --- они обычные, то есть круглые. А окружности в $L_1$ --- они такие как бы "квадратные". Соответственно, и "поворот" в $L_1$ не может совпадать со стандартным евклидовым "поворотом"

[bubu gaga]

Профессор Снэйп писал(а):

Что такое "поворот"? Это движение пространства "вдоль окружностей", то есть такое движение, при котором окружности переходят сами в себя.

Да, я об этом думал. Только интуитивные вещи имеют неприятную тенденцию становиться сложными при ближайшем рассмотрении. Я тут совершенно лезу в дебри в которых ничего не понимаю, но нельзя ли определить поворот, как преобразование которое не меняет внутреннее произведение? Обязательно ли такое преобразование перемещает вектора по кругу? Что это за круг? В какой метрике?

Вот аналогия. Все метрики $L_n$ инвариантны относительно переноса, потому что вычисляются по разницам координат $y_i - x_i$. Добавив смещение к каждой координате разницы останутся неизменными.

Есть ли объяснение (примерно этого же уровня) для того факта, что только $L_2$ "выживает" при повороте?

Спасибо.

[worm2]

А что такое поворот?

Википедия писал(а):

Поворот (вращение) — частный случай движения (изометрии), при котором по крайней мере одна точка плоскости (пространства) остаётся неподвижной.

Поэтому то, что поворот не меняет расстояния, следует из его определения.
Если Вы переопределите расстояние (введя новую метрику), то и поворот будет совсем другим.

Добавлено спустя 1 минуту 28 секунд:

Ну, может быть, я не прав, и поворот определяется только для евклидовой метрики. Но тогда всё равно ответ на Ваш вопрос содержится в его определении.

[ewert]

bubu gaga писал(а):

Вопрос наверное покажется праздными и странным, но почему в евклидовой метрике поворот сохраняет расстояние, а например в $L_1$ нет?

А встречный вопрос: а что такое "поворот"?

Это, в принципе, то, что характеризуется неким углом (ну допустим). Но: что есть угол?...

В абстрактной теории -- это нечто, задаваемое скалярным произведением. Не более и не менее.

Ну так в "евклидовой метрике" (т.е. в метрике, задаваемой скалярным произведением) понятию угла можно придать разумный смысл. В метрике, никакому скалярному произведению не соответствующей (вот, в частности, в $L_1$) -- ничего вразумительного не выйдет. Потому и вопрос оказывается бессмысленным.

[e7e5]

ewert писал(а):

А встречный вопрос: а что такое "поворот"?

Это, в принципе, то, что характеризуется неким углом (ну допустим). Но: что есть угол?...

В абстрактной теории -- это нечто, задаваемое скалярным произведением. Не более и не менее.

Углом и тем свойством, что как раз расстояния от точки $O$ ( поворот с центром $O$) до точки X, от $O$ до $X^'$ сохраняется и угол поворота между образующими векторами равен как раз углу поворота...

[Really]

e7e5 писал(а):

ewert писал(а):

А встречный вопрос: а что такое "поворот"?

Это, в принципе, то, что характеризуется неким углом (ну допустим). Но: что есть угол?...

В абстрактной теории -- это нечто, задаваемое скалярным произведением. Не более и не менее.

Углом и тем свойством, что как раз расстояния от точки $O$ ( поворот с центром $O$) до точки X, от $O$ до $X^'$ сохраняется и угол поворота между образующими векторами равен как раз углу поворота...

Если нет угла, то нет и никаких свойств угла. Сохранение углов при отсутствия понятия
угла - бессмыслица.

Кстати, поворот на углы кратные $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ метрика $l_1$ сохраняет.
Любой такой поворот есть суперпозиция операций перестановки базисных
столбцов и умножения их на $\pm 1$. Это как рах в чистом виде группа изометрии
метрики $l_1$ в $\mathbb R^n$.

[e7e5]

Really писал(а):

Если нет угла, то нет и никаких свойств угла. Сохранение углов при отсутствия понятия
угла - бессмыслица.

Кстати, поворот на углы кратные $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ метрика $l_1$ сохраняет.

А что будет тогда вращением?

[Really]

e7e5 писал(а):

А что будет тогда вращением?

Не совсем понял ваш вопрос, но попробую объяснить, что имел в виду.
Возможно я путаюсь в терминологии. Но я так понял, что мы говорили
о вращении базисных векторов на некоторый угол $\alpha$. В метрике $l_1$
изометрией будет лишь вращение на углы кратные $\pi /2$. Поскольку
само понятие угла (в терминах $l_1$) ввести затруднительно, то вращение следует
определить как перестановку базисных векторов и умножение их же на $\pm 1$.
- здесь не возникает слова угол, но по сути это тоже самое.

[bubu gaga]

ewert писал(а):

В абстрактной теории -- это нечто, задаваемое скалярным произведением. Не более и не менее.

Я этого не знал. Получается скалярное произведение определяет всю евклидову геометрию (углы, расстояния и через них площади)?

Вопрос, а как далеко можно распространять теоремы планиметрии на векторные пространства со скалярным произведением? Например, если взять три ограниченные функции $f_1, f_2, f_3$ на $[a, b]$, то можно ли утверждать, что существует единственная функция (с точностью до почти всюду) равноудалённая от заданных трёх $f_1, f_2, f_3$?

[Профессор Снэйп]

bubu gaga писал(а):

Например, если взять три ограниченные функции $f_1, f_2, f_3$ на $[a, b]$, то можно ли утверждать, что существует единственная функция (с точностью до почти всюду) равноудалённая от заданных трёх $f_1, f_2, f_3$?

Это уже в $\mathbb{R}^3$ не верно

[Henrylee]

Профессор Снэйп писал(а):

bubu gaga писал(а):

Например, если взять три ограниченные функции $f_1, f_2, f_3$ на $[a, b]$, то можно ли утверждать, что существует единственная функция (с точностью до почти всюду) равноудалённая от заданных трёх $f_1, f_2, f_3$?

Это уже в $\mathbb{R}^3$ не верно

В $\mathbb{R}^3$ ,берем 4 точки. А вот если взять в сепарабельном гильбертовом пространстве произвольную последовательность элементов, верно ли, что существует элемент, равноудаленный ото всех? Или так - можно ли построить сферу, содержащую всю последовательность. Будет ли она единственна. Что-то смутно знакомое..

[Профессор Снэйп]

Henrylee писал(а):

В $\mathbb{R}^3$ берём 4 точки.

Берём 4 точки, лежащие в одной плоскости: три вершины равностороннего треугольника и его центр. И что, где-то в $\mathbb{R}^3$ есть точка, равноудалённая от этих четырёх?