Разрезание прямоугольника с закрашенными клетками

[Ktina]

Дан клетчатый прямоугольник $4\times 5$. Катенька выбирает в этом прямоугольнике две различные клетки и закрашивает их. Всегда ли Вася сможет после этого разрезать получившийся прямоугольник на две равные части по линиям сетки так, чтобы в каждой из частей была закрашенная клетка?

[photon]

Интуиция подсказывает, что всегда сможет, но как бы это кратко доказать, не перебирая варианты (не предлагая несколько разрезов, которые вместе покроют любой вариант раскраски) пока в голову не приходит.

[Ktina]

photon
А как же соображения симметрии (осевой, центральной, ...)?

[photon]

Ktina в сообщении #1384583 писал(а):

А как же соображения симметрии (осевой, центральной, ...)?

Ну это-то понятно. Если одна клетка снизу, а другая сверху или как-то еще по разные стороны от центра/оси, то разделить - не проблема, а если они где-то рядышком, то надо (мне надо, а кто-то может и из общих соображений может доказать) отдельно перебирать варианты.

[arseniiv]

О, неожиданно вроде интересная задача. (Я некорректный и знаю это.)

Части равны по площади или конгруэнтны?

[Ktina]

arseniiv в сообщении #1384611 писал(а):

Части равны по площади или конгруэнтны?

Части совпадают при наложении.

-- 28.03.2019, 18:42 --

arseniiv в сообщении #1384611 писал(а):

О, неожиданно вроде интересная задача. (Я некорректный и знаю это.)

Это Вы ещё вот эту не видели.

[arseniiv]

(Написано ранее.)
Допустим, конгруэнтны. Если я правильно представляю, тогда можно усилить утверждение: любой клеточный прямоугольник $m\times n$ с чётным $mn$ можно разрезать на центрально симметричные друг другу фигуры (содержащие…). Возьмём эти клетки $A,B$ и назовём центрально симметричные им $B',A'$, и если $A = A'$, будет случай попроще, но его не должно быть нужно выделять; и вроде всё действительно очевидно, а короткого и ясного доказательства на ум не приходит. Что-то насчёт соединения $A$ и $A'$ не пересекающим свой образ путём и потом раздуванием их, пока не кончится незанятое ими место. (Причём выглядит так, что всегда достаточно пути из горизонтального и вертикального отрезков (которых в общем случае два варианта, один из которых может не подходить), кроме довольно редких случаев, когда $A,B,A',B'$ (или $A,B',A',B$) находятся на одной (гор./верт.) прямой, и тогда соединять надо тремя отрезками.)

Надо подумать, можно ли сделать тут что-то прозрачным.

Ktina в сообщении #1384615 писал(а):

Части совпадают при наложении.

Так бы и написали, что конгруэнтны.

Ktina в сообщении #1384615 писал(а):

Это Вы ещё вот эту не видели.

Ну там уже всё как минимум разобрано.

[photon]

Если я ничего не упустил, то 5 вариантов разрезов, дополненные отражениями относительно вертикальной или горизонтальной оси, покрывают все возможные варианты.

\begin{table}[] \begin{tabular}{|c c c c c|} \hline &&&&\\ &&&&\\ \hline &&&&\\ &&&&\\ \hline \end{tabular} \end{table}

\begin{table}[] \begin{tabular}{|lllll|} \hline & \multicolumn{1}{l|}{} & & & \\ & \multicolumn{1}{l|}{} & & & \\ \cline{3-3} & & \multicolumn{1}{l|}{} & & \\ & & \multicolumn{1}{l|}{} & & \\ \hline \end{tabular} \end{table}

\begin{table}[] \begin{tabular}{|lllll|} \hline & & & \multicolumn{1}{l|}{} & \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{|l|}{} & & & & \\ \cline{2-4} & & & \multicolumn{1}{l|}{} & \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{|l|}{} & & & & \\ \hline \end{tabular} \end{table}

\begin{table}[] \begin{tabular}{|lllll|} \hline & & & & \\ \cline{4-5} & & \multicolumn{1}{l|}{} & & \\ \cline{3-3} & \multicolumn{1}{l|}{} & & & \\ \cline{1-2} & & & & \\ \hline \end{tabular} \end{table}

\begin{table}[] \begin{tabular}{|lllll|} \hline & & & \multicolumn{1}{l|}{} & \\ & & & \multicolumn{1}{l|}{} & \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{|l|}{} & & & & \\ \multicolumn{1}{|l|}{} & & & & \\ \hline \end{tabular} \end{table}

[photon]

А рассуждения следующие:
1) Если закрашены одна клетка в верхней половинке, другая в нижней - первый разрез.
Остаются варианты: обе в верхней или обе в нижней.
2) Рассмотрение второго варианта разреза оставляет два варианта: либо это соседние клетки в центральном столбике, либо какие-то две из углового квадрата $2\times 2$
3) Третий вариант разреза отметает вариант двух соседних в центральном столбике
4-5) Четвертый и пятый вариант перекрывают возможные размещения в угловом квадратике.

[Ktina]

arseniiv
photon
Большое спасибо!