Задача на нормальность подгрупп

[bayah]

Такая задача:

Цитата:

Пусть $G$ — группа порядка $pq$, где $p>q$ — простые числа. Пусть $F$ — подгруппа в $G$ порядка $p$, $H$ — подгруппа в $G$ порядка $q$.

Требуется сделать вывод о нормальности этих подгрупп (или о том, что такого вывода сделать нельзя).
Не понятно зачем остальное условие про $p$ и $q$.

Рассуждение такое:
Так как $G$ - циклическая группа, то это абелева группа. А так как $F$ и $H$ подгруппы $G$, то они нормальные как любые подгруппы в абелевой группе.
Но видимо я ошибаюсь. В чем ошибка?

[mihiv]

Про цикличность $G$ в условии не сказано.

[bayah]

mihiv в сообщении #1384306 писал(а):

Про цикличность $G$ в условии не сказано.

Аа... чего-то тупанул - подумал, что раз порядок то значит циклическая.
Сейчас подумаю снова.
Спасибо)

[arqady]

Почитайте про теоремы Силова.

[Munin]

bayah в сообщении #1384310 писал(а):

подумал, что раз порядок то значит циклическая.

(Конечный) порядок есть у любой конечной группы. (А у бесконечной - бесконечный...)

[bayah]

arqady в сообщении #1384321 писал(а):

Почитайте про теоремы Силова.

Да эта задача в курсе как бы, а теорем Силова в курсе пока не было. То есть, видимо, предполагается что эта задача решается без них.
Но я чего-то не могу ничего сообразить.

Вообще в задаче есть варианты ответов - требуется отметить верные, коих может быть несколько (или ни одного):
1) В указанных условиях подгруппа $F$ всегда нормальна
2) В указанных условиях подгруппа $H$ всегда нормальна
3) Нельзя утверждать, что подгруппы или нормальны.

Ну если взять $G$ - абелеву, то $F$ и $H$ - сразу нормальны.
Если $G$ - не абелева, то в качестве примера демонстрирующего возможность нормальности $F$ можно рассмотреть группу симметрий правильного треугольника $G = D_3$.
Тогда $|G| = pq = 6 = 2\cdot3$.
$F = \{e, (120), (270)\}$ - подгруппа поворотов, $|F| = p = 3$.
$H = \{e, (1)\}$ - какая-нибудь из подгрупп отражений, $|H| = q = 2$.
Тогда $F$ нормальна в $G$, а $H$ - нет.

Если бы удалось найти пример в котором не было бы нормальных подгрупп, то можно было бы утверждать вариант ответа 3).

[Munin]

bayah в сообщении #1384337 писал(а):

Если $G$ - не абелева, то в качестве примера демонстрирующего возможность нормальности $F$

Вам надо думать не про возможность нормальности, а про возможность отсутствия нормальности ("не-нормальности", хотя такое слово не принято произносить :-)

[Someone]

Я не могу понять, что означает

bayah в сообщении #1384337 писал(а):

подгруппы или нормальны.

Проверьте, пожалуйста, по источнику и напишите точно так, как там.

bayah в сообщении #1384337 писал(а):

Если бы удалось найти пример в котором не было бы нормальных подгрупп, то можно было бы утверждать вариант ответа 3).

Вообще, легко доказывается, что подгруппа индекса $2$ всегда нормальная. Если Вы хотите, чтобы обе подгруппы не были нормальными, нужно брать $p>q>2$ и искать такие подгруппы. Существуют ли группы совсем без (нетривиальных) нормальных подгрупп, я не в курсе, может быть, кто-нибудь из специалистов скажет.

[tolstopuz]

Если в $G$ существует еще одна подгруппа $F'$ порядка $p$, что можно сказать о подгруппе, порожденной $F$ и $F'$?

[Brukvalub]

Докажите теорему: любая подгруппа, индекс которой равен наименьшему простому делителю порядка группы, нормальна.

[tolstopuz]

Brukvalub в сообщении #1384417 писал(а):

Докажите теорему: любая подгруппа, индекс которой равен наименьшему простому делителю порядка группы, нормальна.

Не исключено, что в курсе еще не было для этого необходимых средств. Для порядка $pq$ можно доказать и в лоб с помощью моей подсказки.