Простой вопрос по модулям

[krash]

Из учебника Пискунова Н.С.

Если $\lim_{x\to a} f(x) = b, (b \ne 0)$ , то $y = 1/f(x)$ есть ограниченная функция при $x\to a$.
Доказательство: из условия теоремы следует, что при произвольном $\varepsilon>0$ в нек. окрестности точки $x=a$ будем иметь $|f(x)-b| < \varepsilon$ или: $||f(x)|-|b|| < \varepsilon$
(...).

Помогите, пожалуйста, разобраться, откуда следует выражение, выделенное жирным шрифтом?

[Lia]

Следствие из неравенства треугольника.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[GAA]

krash, из $b \ne 0$.
В достаточно малой окрестности $a$ функция будет иметь знак $b$ и можно преобразовать $|f(x) - b| < \varepsilon$ к виду $||f(x)| - |b|| < \varepsilon$. (Если $f(x)$ и $b$ больше 0, то «навешивание» модулей очевидно ничего не меняет, а если оба отрицательны, то после умножения $f(x)$ и $b$ на $-1$ они станут положительными [Если отрицательны, то $|f(x) - b| = |(-f(x)) - (-b)| = ||f(x)| - |b||$]. Конечно, не для всякой окрестности $a$, в которой выполняется $|f(x) - b| < \varepsilon$ при некотором выборе $\varepsilon$, но дальше по самому доказательству в этой книге это и не нужно.)

Вроде очевидно. Или я что-то не вижу?

[TOTAL]

В неравенстве $||f(x)|-|b|| \le |f(x)-b|$ обе части неотрицательны,
поэтому возводим их в квадрат, получая эквивалентное очевидно верное неравенство.

[GAA]

Или скомбинировать
$|a-b| \ge |a| - |b|$, $|b-a| \ge |b| - |a|$
для получения $|a-b| \ge ||a| - |b||$.

-- Tue 26.03.2019 09:53:12 --

Но в начальном сообщении "или", а не "следовательно".

-- Tue 26.03.2019 10:00:13 --

TOTAL, спасибо. Пожалуй, меня заклинило на или.