Отношение средних значений.

[mihiv]

В теме "Оценить значение выражения" рассматриваются оценки отношения обобщенных средних: $R=\dfrac {M_p}{M_q}, M_p=\left (\frac 1n\sum \limits _{i=1}^{n}x_i^p\right )^{\frac 1p},M_q=\left (\frac 1n\sum \limits _{i=1}^{n}x_i^q\right )^{\frac 1q}. $
Доказать, что при $p>q\geq 1, R<n^{\frac 1q-\frac 1p}$.

[arqady]

mihiv в сообщении #1384002 писал(а):

В теме "Оценить значение выражения" рассматриваются оценки отношения обобщенных средних: $R=\dfrac {M_p}{M_q}, M_p=\left (\frac 1n\sum \limits _{i=1}^{n}x_i^p\right )^{\frac 1p},M_q=\left (\frac 1n\sum \limits _{i=1}^{n}x_i^q\right )^{\frac 1q}. $
Доказать, что при $p>q\geq 1, R<n^{\frac 1q-\frac 1p}$.

Должно быть $x_i>0$, иначе это просто неверно.

Пусть $x_i^q=a_i$ и $\frac{p}{q}=k.$
Тогда нам нужно доказать, что

$$a_1^k+a_2^k+...+a_n^k<(a_1+a_2+...+a_n)^k,$$

что следует из неравенства Караматы.
Действительно, функция $f(x)=x^k$ выпуклая и пусть $a_1\geq a_2\geq...\geq a_n.$
Тогда так как

$$(a_1+a_2+...+a_n,0,...,0)\succ(a_1,a_2,...,a_n),$$

получаем:

$$f(a_1+a_2+...+a_n)+f(0)+...+f(0)\geq f(a_1)+f(a_2)+...+f(a_n),$$

а это вточности, что мы должны доказать.