Оценка синуса через вогнутость

[SiberianSemion]

Наткнулся на след. доказательство известной оценки $\sin x > \frac 2\pi x$ при $0 < x < \frac{\pi}2.$

Используется вогнутость синуса. Условие $(\sin x)'' < 0$ выполнено на интервале $(0, \frac{\pi}2),$ поэтому синус вогнут, и его график лежит выше любой хорды. Далее проводится хорда (отрезок с коэф. наклона $\frac2{\pi}$) через $(0,0)$ и $(\frac{\pi}2, 1),$ получается нужная оценка.

Что меня смущает в таком рассуждении. Выпуклость/вогнутость определяются на открытом множестве. Например, здесь функция вогнута на $(0, \frac{\pi}2).$ То есть, условие "график выше хорды" мы можем записать только на хордах внутри этого интервала. Соответственно, аргумент выше $-$ нестрогий, потому что участвуют концевые точки.

Можно ли, используя эту идею, негромоздко построить строгое доказательство?

[Someone]

Я не понял претензию. У Вас же написано

SiberianSemion в сообщении #1383763 писал(а):

$\sin x > \frac 2\pi x$ при $0 < x < \frac{\pi}2.$

То есть, утверждается, что неравенство выполняется на интервале. Причём тут концевые точки? Вы меете в виду, что хорда проходит через концевые точки? Ну, там где-то должно быть сказано про непрерывность в концевых точках.

[SiberianSemion]

Someone в сообщении #1383806 писал(а):

Вы меете в виду, что хорда проходит через концевые точки?

Да, в этом претензия. Хорды можно проводить только внутри интервала, и непонятно как это распространить на концы.

Someone в сообщении #1383806 писал(а):

Ну, там где-то должно быть сказано про непрерывность в концевых точках.

Непрерывное изменение хорды, имеется ввиду? В тексте этого нет $-$ текст про другое, автор не стал подробно останавливаться на этом вопросе.

Я сам пытался проводить хорды через точки, близкие к концам: $y = k(x-a) + \sin a,$ где $k = \frac{\sin b -\sin a}{b-a},$ $a \to 0, b \to \frac \pi 2.$ Получилось трудно и с костылями.

[Lia]

SiberianSemion в сообщении #1383763 писал(а):

$\sin x > \frac 2\pi x$ при $0 < x < \frac{\pi}2.$

Мне кажется, или неравенство $\sin x \ge \frac 2\pi x $ на соответствующем отрезке следует из вышеприведенного очевидным образом? что тут особо распространять?

[SiberianSemion]

Lia в сообщении #1383944 писал(а):

Мне кажется, или неравенство $\sin x \ge \frac 2\pi x $ на соответствующем отрезке следует из вышеприведенного очевидным образом?

Само неравенство $\sin x > \frac 2\pi x$ еще не доказано. Я хочу это доказать внутри интервала.

[Someone]

SiberianSemion в сообщении #1383943 писал(а):

Непрерывное изменение хорды, имеется ввиду?

Непрерывность функции.

Рассматриваете последовательность хорд, у которых концевые точки монотонно стремятся к концам интервала. Каждая следующая хорда в последовательности ниже предыдущих, поскольку их концы лежат выше этой хорды, значит, неравенство усиливается. Переходите к пределу.

А на наглядном уровне это просто очевидно.

[SiberianSemion]

Someone в сообщении #1383946 писал(а):

А на наглядном уровне это просто очевидно.

Да.

Someone в сообщении #1383946 писал(а):

Каждая следующая хорда в последовательности ниже предыдущих, поскольку их концы лежат выше этой хорды, значит, неравенство усиливается. Переходите к пределу.

Я это и делал. Получается громоздко.

Видимо, все равно ничего лучше нет. Спасибо за ответ.

[TOTAL]

SiberianSemion в сообщении #1383763 писал(а):

Наткнулся на след. доказательство известной оценки $\sin x > \frac 2\pi x$ при $0 < x < \frac{\pi}2.$

Используется вогнутость синуса. Условие $(\sin x)'' < 0$ выполнено на интервале $(0, \frac{\pi}2),$ поэтому синус вогнут, и его график лежит выше любой хорды. Далее проводится хорда (отрезок с коэф. наклона $\frac2{\pi}$) через $(0,0)$ и $(\frac{\pi}2, 1),$ получается нужная оценка.

Что меня смущает в таком рассуждении. Выпуклость/вогнутость определяются на открытом множестве. Например, здесь функция вогнута на $(0, \frac{\pi}2).$ То есть, условие "график выше хорды" мы можем записать только на хордах внутри этого интервала. Соответственно, аргумент выше $-$ нестрогий, потому что участвуют концевые точки.

Можно ли, используя эту идею, негромоздко построить строгое доказательство?

Для любого $x$ из "внутри" проведите хорду "внутри", которая, в свою очередь, выше хорды "через концы".

[Mihr]

(Оффтоп)

SiberianSemion в сообщении #1383763 писал(а):

Используется вогнутость синуса. Условие $(\sin x)'' < 0$ выполнено на интервале $(0, \frac{\pi}2),$ поэтому синус вогнут, и его график лежит выше любой хорды.

Насколько я помню, в этом случае говорят о выпуклости функции на отрезке/интервале. Вогнутость - это ровно наоборот.

[bot]

(Оффтоп)

Да вроде нет, я знаю такое определение: функция выпукла (вниз), если её надграфик является выпуклым множеством, в частности если вторая производная неотрицательна.

[Someone]

(Оффтоп)

В разной литературе можно встретить прямо противоположное употребление терминов "выпуклая функция" и "вогнутая функция". Поэтому я всегда употреблял слова "выпуклая вниз" и "выпуклая вниз".

[bot]

(Оффтоп)

Мне тоже казалось, что я встречал прямо противоположное, но было это так давно, что мне стало казаться, что мне это только казалось.

[TOTAL]

Someone в сообщении #1384013 писал(а):

(Оффтоп)

В разной литературе можно встретить прямо противоположное употребление терминов "выпуклая функция" и "вогнутая функция". Поэтому я всегда употреблял слова "выпуклая вниз" и "выпуклая вниз".

(Оффтоп)

Для наглядности говорю "выгнутая вверх" и "выгнутая вниз", одновременно в нужную сторону выгибая мелом линию на доске.

[SiberianSemion]

(Оффтоп)

Эта двусмысленность $-$ как она удобна, однако! Говоришь своему проницательному коллеге "выпуклость" или "вогнутость", а он сразу же представляет в голове правильный случай и понимает, что вы имели в виду. В случае чего, ему не придется делать замечаний, что вы ошиблись, потому что термин итак неоднозначен.

Если же коллега не такой проницательный, то он не будет затуманивать мысли мелкими деталями, думая выпуклость "вверх" или "вниз". Он просто поймет, что вы говорите об идеях, связанных с выпуклостью и прочая.

Двусмысленные термины $-$ основа основ конструктивного диалога!

[arseniiv]

(Оффтоп)

SiberianSemion
Ваши претензии относятся не туда. Проблема с терминами «выпуклость функции» в том, что иметь краткое имя для подобного свойства функции полезно, но именно выпуклость — это «изначально» свойство множества, в данном случае куска надграфика или подграфика функции, и выбор ни одного из них особо не более естественен, что породило неустойчивую в общем терминологию. Выделенное важно, потому что действительно в конкретных-то местах всё практически всегда оговаривается. Форум, однако, не учебник и не справочник с общей линией повествования, и тут заранее на все случаи не договоришься. Но заранее и не обязательно. Так что вы написали эмоциональный неконструктивный пост.