Непрерывность и длина дуги.

[Otta]

GAA
Уговорили.
thething

(Оффтоп)

thething в сообщении #1383821 писал(а):

напали, называется:)

Иии, батенька, это, похоже, на Вас не нападали ни разу ))

[thething]

oleg_2019 в сообщении #1383818 писал(а):

Можно так?

Только не забудьте учесть выбор $x,y$, когда будете выписывать $\delta$.

[oleg_2019]

Если собрать написанное, то вроде так получается:

Возьмем окрестность нуля $-\dfrac{\pi}{3}\le 3xy\le \dfrac{\pi}{3}$ и оценим тангенс в данной окрестности:

$|\dfrac{\sin 3xy}{\cos 3xy}|<|\dfrac{3xy}{0.5}|=|6xy|$

Оценка будет работать, так как решение неравенства $|\cos 3xy|\ge 0,5$ будет $-\dfrac{\pi}{3}\le 3xy\le \dfrac{\pi}{3}$, ну и $|\sin x|<|x|$ (это можно обосновать также, как в док-ве первого замечательного предела).

А дальше $|6xy|\le 3\sqrt{x^2+y^2}<3\delta^2=\varepsilon$.

Выбираем $\delta=\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{3}}$

(Оффтоп)

Жаль, что модули такие короткие получаются, когда их навешваю на дробь...Реально ли это исправить?

-- 24.03.2019, 17:18 --

thething в сообщении #1383823 писал(а):

Только не забудьте учесть выбор $x,y$, когда будете выписывать $\delta$.

А это как учесть? Проверить, чтобы $3xy\ne \dfrac{\pi}2+\pi n $, $n$ - целое.

[Otta]

Короткие модули:

\left|\dfrac{\sin 3xy}{\cos 3xy}\right|

oleg_2019 в сообщении #1383826 писал(а):

А это как учесть? Проверить, чтобы $3xy\ne \dfrac{\pi}2+\pi n $, $n$ - целое.

Проверьте. Но это не единственное Ваше ограничение. Вы же хотели и выполнения неравенства для косинуса.

[thething]

oleg_2019 в сообщении #1383826 писал(а):

А это как учесть?

Вспомните, что иногда в учебниках пишут $\delta=\min(...)$.

[GAA]

(Otta)

А я не уговаривал. Как уcтроена последовательность изложения дисциплины, чтобы такой вопрос мог возникнуть?
Можно определить $\sin x$ и $\cos x$ как функции, удовлетворяющие определённым свойствам и затем аккуратно получить их непрерывность. (Тут набирать долго. Это есть, например, в дополнении к главе 4 книги Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.Т.I. В урезанном варианте есть у Фихтенгольца.) Затем сформулировать теорему о непрерывности элементарных функций,… И, наконец, прийти к примеру. Но при любом раскладе, который могу нафантазировать, непрерывность тангенса к моменту этого примера уже есть. Не там потом исходят, если исходят. А на определении $\sin x$ и $\cos x$.

[oleg_2019]

Спасибо. Ведь в промежуток $-\dfrac{\pi}{3}\le 3xy\le \dfrac{\pi}{3}$ не попадает $3xy= \dfrac{\pi}{2}+\pi n$.

thething в сообщении #1383828 писал(а):

Вспомните, что иногда в учебниках пишут $\delta=\min(...)$.

Видимо $\delta =\min(\delta_1, \delta_2)$.

$\delta_1=\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{3}}$, если $-\dfrac{\pi}{3}\le 3xy\le \dfrac{\pi}{3}$.

А $\delta_2$ выбирается видно для $(x,y)$, таких что не выполняется неравенство $-\dfrac{\pi}{3}\le 3xy\le \dfrac{\pi}{3}$. Правильно? И тут тоже нужно искать оценку? Но ведь это уже не окрестность нуля будет, тогда зачем?

[thething]

Да проще всё. Найдите какие-нибудь оценки для $x,y$ по отдельности, потом оцените $\sqrt{x^2+y^2}$, это и будет та дельта-два.

[oleg_2019]

Честно говоря не знаю, зачем нужны оценки для $x,y$. И зачем $\delta_2$.

Но $x$ оценить легко $x\le \sqrt{x^2+y^2}<\delta$ и $y\le \sqrt{x^2+y^2}<\delta $

[thething]

Про оценки по отдельности я имел ввиду такие, чтобы выполнялась Ваша исходная оценка $|3xy|<\dfrac{\pi}{3}$. Достаточно одним способом подобрать оценки для $|x|,|y|$, оставаясь в окрестности нуля, само собой.

[oleg_2019]

Можно взять так $|x|<\dfrac{\pi}3$ и $|y|<\dfrac{\pi}3$ Правильно?

[thething]

oleg_2019 в сообщении #1383841 писал(а):

Правильно?

Проверьте, будет ли выполнено Ваше исходное условие.

[oleg_2019]

thething в сообщении #1383855 писал(а):

oleg_2019 в сообщении #1383841 писал(а):

Правильно?

Проверьте, будет ли выполнено Ваше исходное условие.

Точно, затупил, извините. Там же квадрат у $\pi$ вылезет.
Чтобы сильно не заморачиваться, можно сделать $|x|<\dfrac{\pi}{10^9}$ и $|y|<\dfrac{\pi}{10^9}$ Правильно?

[GAA]

oleg_2019 в сообщении #1383834 писал(а):

А $\delta_2$ выбирается видно для $(x,y)$, таких что не выполняется неравенство $-\dfrac{\pi}{3}\le 3xy\le \dfrac{\pi}{3}$. Правильно? И тут тоже нужно искать оценку? Но ведь это уже не окрестность нуля будет, тогда зачем?

Чтобы неравенства выполнялись. $\delta = \min \left ( \sqrt{\frac {\varepsilon} 3}, \frac{\sqrt 2} 3 \sqrt {\pi} \right)$.

[oleg_2019]

Спасибо. Но только я все равно не понял откуда взялось $\frac{\sqrt 2} 3 \sqrt {\pi} \right)$. Могли бы подсказать, у меня идей нет, если честно.