Равноускоренное движение по окружности

[waxtep]

AnatolyBa в сообщении #1380723 писал(а):

Что-то меня терзают сомнения, что вы складывали ускорения не векторно

У меня сейчас не под рукой мои каракули, но по идее должен был я сделать следующее: $(\ddot\varphi)^2+(\dot\varphi)^4=(a/R)^2$ и далее $\ddot\varphi=\frac12\frac{d(\dot\varphi)^2}{d\varphi}$ - да, явно наврал, уравнение-то нелинейное получается

[versham]

Можно решить совсем по-школьному и красиво. Пусть точка прошла по окужности угол $\varphi$, и полное ускорение точки составляет угол $\alpha$ с вектором скорости. Нормальное ускорение:
$\a \sin \alpha = (\dot{\varphi}})^2 R $
Продифференцируем по времени
$ a \dot{\alpha} \cos \alpha = 2\dot{\varphi} \ddot{\varphi} R $

Посмотрим на тангенциальное ускорение
$a \cos \alpha = \ddot{\varphi} R$

Поделим одно на другое:
$\dot{\alpha}=2\dot{\varphi}$
Откуда
$\alpha(t)=2\varphi(t)$
для любого $t$

Начальные условия:
$\alpha(0)=\varphi(0)$
Конечное:
$\alpha(t_x)=\frac{\pi}{2}$
(Скорость стала перпендикулярна ускорению)

Откуда $\varphi(t_x)=\frac{1}{2}\alpha(t_x)=\frac{\pi}{4}$

[Red_Herring]

versham в сообщении #1383384 писал(а):

Можно решить совсем по-школьному и красиво.

И к тому же неправильно, поскольку не угол постоянный, а модуль ускорения.

[AnatolyBa]

Почему же. По моему все правильно и очень красиво (только в записи начального условия некоторая небрежность)

[EUgeneUS]

Вот тут

versham в сообщении #1383384 писал(а):

$\a \sin \alpha = (\dot{\varphi}})^2 R $

Ошибки в записи формул. Отображается неверно, чем сбивает с толку.
А так да, правильно и красиво.

[oleg_2]

Я задачу не решил, но когда дали ответ, то я попытался хотя бы понять, что происходит. Почему время и путь конечны? Решение versham простое и понятное.

Написали, что решение не единственное, я догадался почему. Я придумал физическую модель, там всё понятно.

Физическая модель задачи.
В дальнем космосе есть некая неподвижная точка "центр". Вокруг центра нарисована пунктирная окружность радиуса $R$. На окружности находится неподвижная ракета с космонавтом, гравитации нет. Двигатель ракеты, будучи включенным, дает ракете постоянное по модулю ускорение, а вектор ускорения космонавт может поворачивать как угодно путем поворота сопла. Космонавт включает двигатель и рулит так, чтобы ракета оставалась на пунктирной окружности. Когда скорость достигнет максимальной, он просто направляет сопло всё время вдоль радиуса и летает по круговой орбите. Но он может по достижении максимальной скорости сразу начать обратный процесс и остановиться. Ещё он может сменить знак тангенциального ускорения раньше, чем достигнет максимальной скорости, и остановиться в любой точке окружности. Интуитивно понятно, что разгон и торможение вдоль окружности симметричны.

С натяжкой можно назвать аналогом движения ракеты управляемый занос автомобиля на скользкой дороге, я немного владею таким навыком. Или ледовые гонки на мотоциклах. Сходство в том, что задача - удержаться на заданной траектории.