Компактная КЭД в 4D (калибровочная O(2) в 4D)

[coagulator]

Здравствуйте, разбираю вопрос конфайнмента в компактной 4-мерной КЭД. Стартую с книги Полякова "Калибровочные поля и струны" и не могу понять некоторые моменты. Для того, чтобы объяснить их яснее, сделаю небольшое введение.

Рассматривается следующее действие:

$$\frac{1}{2e^2}\sum (1-\cos F_{\mu\nu}(x)),$$

заданное на 4D кубической решетке, сумма по всем индексам (по узлам решетки $x$ и тензорным индексам). Сам тензор $F_{\mu\nu}$ определяется как в обычной электродинамике (с учетом того, что теперь вместо обычных производных разностные). Потенциал $A_{\mu}$ "живет" в интервале $[-\pi,\,\pi]$. В наивном непрерывном пределе это действие дает обычную 4D электродинамику.

Многие утверждения Полякова для меня не так очевидны, порой даже непонятны. Зато я понимаю как устроена XY-модель (глобальная O(2) модель) и понимаю что здесь есть определенные сходства. Я начинаю обсуждение модели следующим образом: возьмем наивный непрерывный предел, но учтем периодичность действия. Это приведет к тому, что я должен рассматривать теперь многозначные решения уравнения движения. Уравнение движения моей модели в непрерывном пределе совпадает с обычными уравнениями Максвелла:

$$\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=\partial_{\mu}(\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu})=\square A^{\nu}-\partial^{\nu}(\partial_{\mu}A^{\mu}),$$

откуда вроде бы следует, что рассуждения какие-либо надо проводить для фиксированной калибровки. Пусть это будет такая, что $\partial_{\mu}A^{\mu}=0$. Итак, мое уравнение $\square A^{\mu}=0$. С этого момента у меня начинаются сложности. В случае XY-модели многозначные решения -- это $\arctg((y-y_i)/(x-x_i)),$ где $y_i$ и $x_i$ координаты "особенности" по двум осям (буду называть такое решение $\theta$-решением). Мне не очень понятно какое многозначное решение может у полученного уравнения, как его написать, угадать, подсмотреть?

Затем, в XY-модели можно связать многозначное $\theta$-решение с "дуальным" ему логарифмом (связаны через условия Коши-Римана) и можно в лоб посчитать действие

$$S=\int d^2x(\partial_{\mu}\theta)^2,$$

которое описывает вихревые конфигурации. Дальше все "просто": полученное действие вихрей соответствует взаимодействию зарядов в 2D и т.д., и т.п.

Я бы хотел провести аналогичное рассуждение для 4D компактной КЭД, но не очень получается: не хватает понимания/умения. Поляков достаточно подробно обсуждает в своей книге 3D случай, но мне не ясны его манипуляции с уравнениями движения и поиском многозначных решений (по книге это формулы (4.64)-(4.67)).

Таким образом, вопрос: какие многозначные решения имеет уравнение $\square A^{\mu}=0$ и так ли необходимо их исследовать, чтобы увидеть возникновение конфайнмента в непрерывном пределе компактной КЭД?

Помимо его книги, я посмотрел также Yakov M. Shnir "Magnetic Monopoles", но при первом рассмотрении показалось, что я не найду там ответа на свои вопросы и еще одну книжку J. Greensite "An introduction to confinement problem", которая тоже оказалась бедна на детали. Также обнаружил статью J. Smit & A. J. van der Sijs "Monopoles and Confinement", где вопросу компактной КЭД в 4Д уделено больше внимания, но нет переходов к непрерывному пределу и есть вопросы к некоторым формулам.