1) Покажите, что регулярный модуль (т.е. само кольцо, рассматриваемое как левый модуль над собой) проективен.
2) Пусть
--- прямая сумма произвольного (возможно бесконечного) семейства модулей. Тогда
проективен тогда и только тогда, когда все слагаемые проективны.
(А знаете те ли, чем отличаются прямая сумма и прямое произведение ?)
3) Любой свободный модуль проективен.
4) Любой модуль --- фактормодуль подходящего свободного.
Хм, интересно, что эти и некоторые другие задачи я уже прорешал до рассматриваемой. И ещё я решил такую задачу: доказать, что модуль
проективен титтк существует такой модуль
, что
свободен.
Теперь я решил задачу, которую запостил. И решение в свете вышесказанного очевидно. Видимо, я просто засмотрелся вчера ночью на коммутативные диаграммы. У меня как бы "графические" идеи в голове крутились, и я занимался рисованием)
В общем, спасибо.
Пусть
- образ свободного модуля
при гомоморфизме
. Имеем точную последовательность модулей:
. Раз она расщепляется, то
. Откуда по приведённому выше утверждению получаем, что
- проективен.
А знаете те ли, чем отличаются прямая сумма и прямое произведение ?
Ну, конечно
Я могу по-разному ответить. Во-первых, есть категорные понятия произведения и копроизведения. Первый объект в известном смысле конечный, а второй в известном смысле - начальный. Прямое произведение модулей - это произведение, прямая сумма - это копроизведение. Ленг обычно вводит универсальные объекты категорно, а потом доказывает существование. Мне такой его подход нравится. Это даёт видеть общую картину. Г.Б. Шабат, читающий сейчас алгебру в НМУ, в этом смысле идёт даже дальше Ленга.
Во-вторых, во многих случаях это и не важно, а важны явные конструкции. Ну, прямую сумму можно построить как прямое произведение, где в каждом элементе почти все члены нулевые. Удобно мыслить как мн-во всех линейных комбинаций элементов модулей, единственным образом порождающих модуль-прямую сумму.