2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Точная последовательность модулей
Сообщение19.03.2019, 03:47 
Аватара пользователя


08/07/15
127
🔔
Здравствуйте.
Мне нужно доказать, что модуль $P$ проективен тогда и только тогда, когда всякая точная последовательность $0 \to M' \to M \to P \to 0$ расщепляется.
Перед этим я доказал, что такая последовательность расщепима, когда выполняется одно из двух эквивалентных условий: есть правая обратная стрелка из $P$ в $M$; есть левая обратная стрелка из $M$ в $M'$. И доказал эквивалентность этих условий.

Далее, пусть модуль $P$ проективен. Построим коммутативную диаграмму:

$\xymatrix{& P \ar[dl]_h \ar[d]^{1_p} \\ M \ar[r]_{g} & p \ar[r] & 0}$

где $h$ существует по проективности модуля. $gh(x)=x$, поэтому $h$ - правая обратная стрелка для $g$ и последовательность расщепима.

Теперь из расщепимости всякой такой последовательности нужно вывести проективность модуля. У меня не выходит. Конечно, думал "перенести" последовательность на диаграмму и воспользоватьсч существованием обратной стрелки. Но для этого что-то должно бить в $P$. Хотел построить композицию $M \to P \to M'$, но встаёт вопрос о произвольности такого гомоморфизма (сюръективного) из $M$ в $M'$. Может, я весьма туплю, но не увидел решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точная последовательность модулей
Сообщение19.03.2019, 12:21 
Заслуженный участник


18/01/15
3224
Вот одно из возможных решений (есть и другое).

1) Покажите, что регулярный модуль (т.е. само кольцо, рассматриваемое как левый модуль над собой) проективен.

2) Пусть $M=\oplus_{i\in I}M_i$ --- прямая сумма произвольного (возможно бесконечного) семейства модулей. Тогда $M$ проективен тогда и только тогда, когда все слагаемые проективны.
(А знаете те ли, чем отличаются прямая сумма и прямое произведение ?)

3) Любой свободный модуль проективен.

4) Любой модуль --- фактормодуль подходящего свободного.

5) Наконец, выведите нужное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точная последовательность модулей
Сообщение19.03.2019, 15:23 
Аватара пользователя


08/07/15
127
vpb в сообщении #1382855 писал(а):
1) Покажите, что регулярный модуль (т.е. само кольцо, рассматриваемое как левый модуль над собой) проективен.

2) Пусть $M=\oplus_{i\in I}M_i$ --- прямая сумма произвольного (возможно бесконечного) семейства модулей. Тогда $M$ проективен тогда и только тогда, когда все слагаемые проективны.
(А знаете те ли, чем отличаются прямая сумма и прямое произведение ?)

3) Любой свободный модуль проективен.

4) Любой модуль --- фактормодуль подходящего свободного.
Хм, интересно, что эти и некоторые другие задачи я уже прорешал до рассматриваемой. И ещё я решил такую задачу: доказать, что модуль $P$ проективен титтк существует такой модуль $M$, что $P \oplus M$ свободен.

Теперь я решил задачу, которую запостил. И решение в свете вышесказанного очевидно. Видимо, я просто засмотрелся вчера ночью на коммутативные диаграммы. У меня как бы "графические" идеи в голове крутились, и я занимался рисованием)
В общем, спасибо.

Пусть $P$ - образ свободного модуля $M$ при гомоморфизме $f$. Имеем точную последовательность модулей: $0 \to \mathrm{\ker} f =M' \to M \to P \to 0$. Раз она расщепляется, то $M = M' \oplus P$. Откуда по приведённому выше утверждению получаем, что $P$ - проективен.

vpb в сообщении #1382855 писал(а):
А знаете те ли, чем отличаются прямая сумма и прямое произведение ?
Ну, конечно :-)
Я могу по-разному ответить. Во-первых, есть категорные понятия произведения и копроизведения. Первый объект в известном смысле конечный, а второй в известном смысле - начальный. Прямое произведение модулей - это произведение, прямая сумма - это копроизведение. Ленг обычно вводит универсальные объекты категорно, а потом доказывает существование. Мне такой его подход нравится. Это даёт видеть общую картину. Г.Б. Шабат, читающий сейчас алгебру в НМУ, в этом смысле идёт даже дальше Ленга.

Во-вторых, во многих случаях это и не важно, а важны явные конструкции. Ну, прямую сумму можно построить как прямое произведение, где в каждом элементе почти все члены нулевые. Удобно мыслить как мн-во всех линейных комбинаций элементов модулей, единственным образом порождающих модуль-прямую сумму.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group