Планиметрия. Отношения отрезков

[Клавдия]

Помогите, пожалуйста, решить!!

1. В треугольнике АВС точка D на стороне ВС и точка F на стороне АС расположены так, что ВD:DC=3:2, AF:FC=3:4. Отрезки AD и BF пересекаются в точке Р. Найти отношение АР:PD.

2. В параллелограмме ABCD точка М на стороне АВ и точка N на стороне AD расположены так, что АМ:МВ=3:1, AN:ND=2:3. Отрезки DM и CN пересекаются в точке Р. Найти отношение DP:PM.

3. В треугольнике АВС точка М на стороне АВ расположена так, что АМ:МВ=1:2. Через точку М проводится прямая, которая пересекает сторону АС в точке К и луч ВС в точке N. Найти отношение АК:КС, если известно, что площади треугольников BMN и АВС равны.

4. В треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС, АС расположены точки М, N, К соответственно так, что АМ:МВ=ВN:NC=СК:КА=1:2. Отрезки AN, BK, CM, пересекают друг друга в точках P, Q, R. Доказать, что площадь треугольника PQR в 7 раз меньше площади треугольника АВС.

[Клавдия]

5. В трапеции АВСD основание AD в 2 раза больше ВС. Точка М середина стороны АВ, а точка N на стороне CD выбрана так, что прямая MN делит площадь трапеции пополам. Найти отношение CN:ND.

7. В треугольнике АВС, площадь которого равна S, точка М середина стороны ВС, точка N на продолжении стороны АВ и точка К на продолжении стороны АС выбраны так, что AN=1/2AB, CK=1/2AC. Найти площадь треугольника MNK.

[TOTAL]

Клавдия, Вы сами эти задачи придумали?

[Алексей К.]

Клавдия писал(а):

1. В треугольнике $ABC$ точка $D$ на стороне $BC$ и точка $F$ на стороне $AC$ расположены так, что $BD:DC=3:2$, $AF:FC=3:4$. Отрезки $AD$ и $BF$ пересекаются в точке $P$. Найти отношение $AP:PD$.

Приходит в голову такое. Точку $C$ взять за ухо и потянуть так, чтобы тр-к стал равносторонним. Убедиться, что при этом все отношения сохраняются. И тогда для равностороннего треугольника просто их сосчитать.
Но это я ещё не обедал.

[Парджеттер]

А почему бы не дополнить этими задачами эту тему? Зачем новую создавать?

[нг]

темы объединены.

Клавдия, не создавайте, пожалуйста, новых тем для продолжения обсуждения.

[gris]

Подобные задачи легко решаются, если от отношения отрезков переходить к отношению площадей треугольников, содержащих эти отрезки в качестве сторон. Воспользоваться аддитивным свойством площади фигуры. Например, в задаче 1 провести отрезок PC и рассмотреть попарные отношения некотрых из пяти треугольников. И треугольников, составленных их них. А затем от найденного отношения определенной пары перейти к отношению отрезков. В задаче 5 четыре треугольника. В задаче 4 четыре треугольника и три четырехугольника. Ну и так далее. Упражнение на тему - сколько треугольников вы видите на чертеже и для каких из них можно установить отношение или равенство площадей.