2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Размещение n четных и n нечетных чисел в таблиц
Сообщение17.03.2019, 22:50 
Здравствуйте, задача следующая:

Сколькими способами $n$ различных четных чисел и $n$ различных нечетных чисел можно записать в таблицу $2\times n$ таким образом, чтобы нечетное число никогда не стояло под четным? Ответ должен содержать не более одной суммы.

Мои мысли:
Количество способов равно разнице между количеством всевозможных вариантов и количеству вариантов, в которых есть хотя бы один столбец с нечетным числом под четеным.
Общее количество вариантов равно:
$(2n)!$
Количество вариантов с хотя бы одним неподходящим столбцом равно произведению количества размещения чисел в стобце ($n\times n$) на количество возможных положений столбца ($n$) и на количество различных варинатов размещения оставшихся чисел ($(2n-2)!$) :
$(n^2)(n)((2n-2)!) = (n^3)((2n-2)!)$
В результате имеем:
$(2n-2)!(4n^2 - 2n - n^3)$
Конечно это не верно, т.к это выражение далеко не всегда больше 0. Помогите найти ошибку в рассуждениях.

 
 
 
 Re: Размещение n четных и n нечетных чисел в таблиц
Сообщение17.03.2019, 23:01 
Аватара пользователя
Как обычно - посчитали некоторые варианты больше одного раза.

 
 
 
 Re: Размещение n четных и n нечетных чисел в таблиц
Сообщение18.03.2019, 00:26 
Уточнение: в таблице два столбца высотой $n$?

 
 
 
 Re: Размещение n четных и n нечетных чисел в таблиц
Сообщение18.03.2019, 00:46 
Нет, в таблице 2 строки длинной n

 
 
 
 Re: Размещение n четных и n нечетных чисел в таблиц
Сообщение20.03.2019, 00:08 
mihaild в сообщении #1382520 писал(а):
Как обычно - посчитали некоторые варианты больше одного раза.


Подумал над вашим замечнием, не нужно было умножать на количество положений столбца. Тогда ответ такой:
$(2n-2)!(3n^2 - 2n)$

Смущает следующее выражение в условии:
Ответ должен содержать не более одной суммы

 
 
 
 Re: Размещение n четных и n нечетных чисел в таблиц
Сообщение20.03.2019, 00:41 
Аватара пользователя
А это вы посчитали, например, число размещений в которых первый столбец неправильный. Неужели это все?
(и лучше пишите про число неправильных вариантов - его действительно посчитать проще, а на результат проще смотреть без приведения вычитания факториалов)

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group