Найти производную функционального рекуррентного соотношения

[Pixar]

Есть функциональное рекуррентное соотношение:

$ \begin{cases} F_0(x) = 1,\\ F_1(x) = x + 3,\\ F_n(x) = F_{n - 1}(x) + 2F_{n - 2}(x) + 2^n(3nx -x - \frac{3}{2}) \end{cases} $

Нужно найти производную общего решения этого рекуррентного соотношения $\frac{dF}{dx}(x)$.

Ответ:

Цитата:

$\frac{dF}{dx}(x) = (-1)^n \frac{4}{3} + 2^n(n^2 + \frac{3}{2}n - \frac{4}{3})$

---

Я умею решать рекуррентные соотношения вида $F_n = c_1 F_{n - 1} + c_2 F_{n - 2} + n 2^n$.
Сперва находится решение для однородного уравнения $F_n = c_1 F_{n - 1} + c_2 F_{n - 2}$, а после этого мы угадываем частное решение в виде $F_n = k n 2^n$.
Если частное решение $F_n = k n 2^n$ резонирует с одним из решений для однородного уравнения, мы просто домнажаем $n$ до тех пор, пока частное решение не станет уникальным.

Но как подходить к решению функциональных уравнений? Можно ли просто думать о переменной $x$ как о константе? И есть ли какие-нибудь книги, в которых описываются подобные уравнения (я долго искал, но пока ещё не наткнулся).

[dsge]

Попробуйте взять производную от правой и левой части исходного функционально-рекуррентного уравнения и потом решить разностное уравнение относительно $\frac{dF_n}{dx}$.

[Pixar]

dsge в сообщении #1138519 писал(а):

Попробуйте взять производную от правой и левой части исходного функционально-рекуррентного уравнения и потом решить разностное уравнение относительно $\frac{dF_n}{dx}$.

Наверное, очень глупый вопрос, но всё же... Как брать производную от рекуррентного соотношения? :)

[dsge]

Ну, есть такое свойство - производная суммы равна сумме производных.

[DeBill]

Pixar в сообщении #1138517 писал(а):

угадываем частное решение в виде $F_n = k n 2^n$.

Нет, надо частное решение искать в виде $2^n\cdot (an+b)$. И зачем угадывать: просто подставить в ур-е, приравнять к-ты при одинаковых степенях $n$. и решить полученную систему.

Можно и не дифф-ть (хотя с диф-м будет чуток попроще): а решить - для каждого $x$...
И: обратите внимание - в Вашей задаче "резонировать" - будет.

-- 18.07.2016, 19:54 --

Pixar в сообщении #1138517 писал(а):

Можно ли просто думать о переменной $x$ как о константе?

Да.
И, кстати, производная от $1$ равна 0....

[Pixar]

DeBill в сообщении #1138657 писал(а):

Pixar в сообщении #1138517 писал(а):

угадываем частное решение в виде $F_n = k n 2^n$.

Нет, надо частное решение искать в виде $2^n\cdot (an+b)$. И зачем угадывать: просто подставить в ур-е, приравнять к-ты при одинаковых степенях $n$. и решить полученную систему.

Можно и не дифф-ть (хотя с диф-м будет чуток попроще): а решить - для каждого $x$...
И: обратите внимание - в Вашей задаче "резонировать" - будет.

-- 18.07.2016, 19:54 --

Pixar в сообщении #1138517 писал(а):

Можно ли просто думать о переменной $x$ как о константе?

Да.
И, кстати, производная от $1$ равна 0....

1. Правильно ли я понимаю, что для $F_n(x) = F_{n - 1}(x) + F_{n - 2}(x) + ... + F_{n - d} + 2^n$ частное решение ищется как $F_n(x)=a 2^n$. В случае, если $F_n(x)=a 2^n$ совпадает с одним из однородных решений, то мы ищем $F_n(x)=an 2^n$, а не $F_n(x)=2^n \cdot (a n + b)$.

Но если исходное уравнение имеет вид $F_n(x) = F_{n - 1}(x) + F_{n - 2}(x) + ... + F_{n - d} + n 2^n$, то мы ищем $F_n(x)=2^n \cdot (a n + b)$, а не $F_n(x)=a n 2^n$?

Как быть, если уравнение $F_n(x) = F_{n - 1}(x) + F_{n - 2}(x) + ... + F_{n - d} + n 2^n$ и $F_n(x)=2^n \cdot (a n + b)$ резонирует с одним из однородных решений?

2. Опять же, верно ли я понял, что частное решение для $F_n(x) = F_{n - 1}(x) + F_{n - 2}(x) + ... + F_{n - d} + 2^n$ и $F_n(x) = F_{n - 1}(x) + F_{n - 2}(x) + ... + F_{n - d} + x^2 2^n$ имеет один и тот же вид: $F_n(x)= a 2^n$?

3. Если бы нужно было найти интеграл от $F_n(x)$, можно было бы сперва взять интеграл от исходного рекуррентного соотношения и искать решение уже для первообразной?

[DeBill]

Pixar
1.а) Да.б) Да. в)Соединить оба пункта. Точнее, решение из б) домножить на степень $n$, равную кратности соотв-го корня характеристического ур-я.
2. Да (здесь $x$ можно считать константой) (если "не резонирует")
3. Да, можно. А можно - и наоборот: решить функ. ур-е, а потом найти первообразную.

[Pixar]

DeBill в сообщении #1139080 писал(а):

Pixar
1.а) Да.б) Да. в)Соединить оба пункта. Точнее, решение из б) домножить на степень $n$, равную кратности соотв-го корня характеристического ур-я.
2. Да (здесь $x$ можно считать константой) (если "не резонирует")
3. Да, можно. А можно - и наоборот: решить функ. ур-е, а потом найти первообразную.

Спасибо, я всё понял!

Есть ли книжка, в которой я бы мог об этом прочитать или это только преподают на спецкурсах в университете? :)

[ewert]

DeBill в сообщении #1139080 писал(а):

решение из б) домножить на степень $n$, равную кратности соотв-го корня характеристического ур-я.

Так в том-то и дело, что здесь резонанс.

[DeBill]

ewert в сообщении #1139147 писал(а):

Так в том-то и дело, что здесь резонанс.

Ну да, я писал об этом:

DeBill в сообщении #1138657 писал(а):

И: обратите внимание - в Вашей задаче "резонировать" - будет.

Pixar в сообщении #1139107 писал(а):

Есть ли книжка, в которой я бы мог об этом прочитать

Книжка, наверняка, есть. Однако точных ссылок дать не могу (для себя я, в свое время, все вывел по аналогии с линейными диф. ур-ями). Попробуйте погуглить "линейные функц- е ур-я", или "разностные ур-я" - может, получится. Или кто грамотный в теме здесь увидит - подскажет....

[dsge]

Pixar в сообщении #1139107 писал(а):

Есть ли книжка, в которой я бы мог об этом прочитать

Посмотрите: Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей

[m0r0z0v]

Подскажите, где я ошибаюсь?
Дифференцируем начальную задачу и записывем рекуррентное соотношение сразу для производной:

$\begin{cases} f_n=f_{n-1}+2f_{n-2}+2^n(3n-1)\\ f_0=0\\ f_1=1 \end{cases}$

Однородное решение, после составления характеристического уравнения: $f_n^h=c_1(-1)^n+c_2 2^n$.
Частное решение ищем в виде $f_n^p=2^n n (an+b)$. После подстановки в уравнение находим коэффициенты

$2^n n (an+b) = 2^{n-1} (n-1)(a(n-1)+b) + 2^{n-1} (n-2)(a(n-2)+b) + 2^n (3^n-1)$

$2n(an+b) = (n-1)(a(n-1)+b)+(n-2)(a(n-2)+b)+2(3n-1)$

$2an^2+2bn=2an^2+(-6a+2b+6)n+5a-3b-2$

$\begin{cases} 2a=2a\\2b=-6a+2b+6\\0=5a-3b-2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 1\\b=1 \end{cases} $

Итого общее решение

$f_n=c_1(-1)^n+c_2 2^n + 2^n n(n+1)$

С учетом начальных условий составляем систему и находим коэффициенты $c_1, c_2$:

$\begin{cases} 0=c_1+c_2\\1=-c_1+2c_2+4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c_1 = 1\\c_2=-1 \end{cases}$

Окончательный ответ:

$f_n=(-1)^n-2^n+2^n n (n+1) = (-1)^n + 2^n (n^2+n-1)$

который не совпадает с ответом выше

[DeBill]

m0r0z0v
У Вас - правильно.

[m0r0z0v]

DeBill
Дело в том, что эта задача была на олимпиаде 2016-го года в ВШЭ. Так-же есть разбор задач от организаторов. И там приводиться тот же ответ, что писал автор треда в первом сообщении

Pixar в сообщении #1138517 писал(а):

Ответ:
Цитата:

$\frac{dF}{dx}(x) = (-1)^n \frac{4}{3} + 2^n(n^2 + \frac{3}{2}n - \frac{4}{3})$

Что-то здесь не так...

[DeBill]

m0r0z0v
У Вас - правильно.
Посмотрите: их частное решение (по Вашей ссылке) НЕ удовлетворяет уравнению.