Доказать, что у последовательности нет предела

[maxim555]

Решаю следующую задачу. Даны две последовательности. Первая не имеет предела, вторая сходится. Надо исследовать наличие предела у произведения последовательности.

Пример, когда предел есть, я привёл. Проблема со случаем, когда предела нет. Пример: последовательность $(-1)^n\cdot(1-\frac{1}{n})$. Как доказать, что у этой последовательности нет предела? Аналогия с доказательством $(-1)^n$ не получается, при суммировании есть выражение, зависящее от $n$.
.

[Lia]

Частичные пределы посмотрите. Например. Много способов, в том числе и по определению.

[iifat]

maxim555 в сообщении #1382259 писал(а):

при суммировании есть выражение, зависящее от $n$

Что вы там, стесняюсь спросить, суммируете?

[alcoholist]

maxim555 в сообщении #1382259 писал(а):

Проблема со случаем, когда предела нет.

если от последовательностей не требуется ограниченности, то есть совсем простой пример не-сходимости

[maxim555]

iifat в сообщении #1382264 писал(а):

maxim555 в сообщении #1382259 писал(а):

при суммировании есть выражение, зависящее от $n$

Что вы там, стесняюсь спросить, суммируете?

В доказательстве про $(-1)^n$ берутся номера $2N$ и $2N+1$. Когда мы суммируем, чтобы получить "неравенство треугольника", то получаем $|(1-a) + (a+1)| = 2$. В этом примере получается $|\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n}|$

[iifat]

maxim555 в сообщении #1382277 писал(а):

В этом примере получается

Недопол. Не лучший вы способ доказательства выбрали (почитайте лучше внимательнее письмо Lia), да к тому же явно что-то не то пишете.

[alcoholist]

maxim555 в сообщении #1382259 писал(а):

Пример: последовательность $(-1)^n\cdot(1-\frac{1}{n})$. Как доказать, что у этой последовательности нет предела?

на эту последовательность-произведение можно посмотреть как на последовательность-сумму, может быть легче будет...

[SomePupil]

maxim555 в сообщении #1382259 писал(а):

Аналогия с доказательством $(-1)^n$ не получается, при суммировании есть выражение, зависящее от $n$.

А что так? Пусть зависит от $n,$ но частичный предел-то можно найти.
А, и зачем суммировать? Раз последовательности.

[mihiv]

Еще так можно: пусть $a_n$ сходится, тогда чему равен $\lim \limits _{n\to \infty }(a_n-a_{n-1})$?

[maxim555]

mihiv в сообщении #1382289 писал(а):

Еще так можно: пусть $a_n$ сходится, тогда чему равен $\lim \limits _{n\to \infty }(a_n-a_{n-1})$?

Таким способом получилось. Он равен либо 2, либо -2 в зависимости от четности, но не 0.

UPD. А не получаем ли мы противоречие на том шаге, что у нас последовательность имеет 2 разных предела?

[bot]

maxim555 в сообщении #1382500 писал(а):

Он равен либо 2, либо -2

Вы не поняли вопроса. Спрошу иначе. Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}a_n =a.$ Можно ли отсюда (не зная ничего более о последовательности) извлечь информацию о $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}\,?$

[maxim555]

bot в сообщении #1382564 писал(а):

maxim555 в сообщении #1382500 писал(а):

Он равен либо 2, либо -2

Вы не поняли вопроса. Спрошу иначе. Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}a_n =a.$ Можно ли отсюда (не зная ничего более о последовательности) извлечь информацию о $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}\,?$

Будет со знаком минус, $-a$.

[bot]

maxim555 в сообщении #1382575 писал(а):

Будет со знаком минус, $-a$

Ещё раз, теперь с подчёркиванием

bot в сообщении #1382564 писал(а):

Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}a_n =a.$ Можно ли отсюда (не зная ничего более о последовательности) извлечь информацию о $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}\,?$

Надеюсь не придётся ещё и жирным шрифтом выделять?

[TOTAL]

maxim555 в сообщении #1382259 писал(а):

Проблема со случаем, когда предела нет.

У одной последовательности предела нет, а у другой он есть, так как другая равна $a_n=1$.

[ewert]

maxim555 в сообщении #1382500 писал(а):

А не получаем ли мы противоречие на том шаге, что у нас последовательность имеет 2 разных предела?

В вещественном (или комплексном) случае ограниченная последовательность расходится тогда и только тогда, когда у неё есть не менее двух разных частичных пределов. Это полезно знать.

Однако Вас ведь затрудняют доказательства расходимости. А для них достаточно утверждения только в одну сторону: если есть два разных частичных предела, то сходимости нет. Или, что эквивалентно: если последовательность сходится, то к тому же сходится и любая её подпоследовательность. Это -- совершенно элементарное утверждение (в отличие от обратного); следует оно только и непосредственно из определения предела. Его у вас не могло не быть, и это -- один из основных приёмов доказательства расходимости.