Нечетные совершенные числа.

[Батороев]

незваный гость писал(а):

:

“In 1887, Sylvester conjectured and in 1925, Gradshtein proved that any odd perfect number must have at least six distinct prime factors”

Т.е. $r >4$. Как видите, этот факт тоже довольно давно известен. И упоминается в той же статье (наряду с более сильными).

Заметьте, что я не утверждал, что указал самое сильное

Цитата:

Catalan (1888) proved that if an odd perfect number is not divisible by 3, 5, or 7, it has at least 26 distinct prime aliquot factors, and this was extended to 27 by Norton (1960).

Не знаю, правильно ли перевожу текст.

Если все-таки правильно, то добавлю от себя:
Нечетные совершенные числа (при условии их существования в целом), не имеющие делителей 3, 5, 7, 11, должны содержать более 40 различных других простых делителей.

[незваный гость]

Опять оттуда же:

«More recently, Hare (2005) has shown that any odd perfect number must have 75 or more prime factors. Improving this bound requires the factorization of several large numbers (Hare), and attempts are currently underway to perform these factorizations using ECM factorization at mersenneforum.org and OddPerfect.org.»

[Батороев]

незваный гость писал(а):

:evil:
Опять оттуда же:

«More recently, Hare (2005) has shown that any odd perfect number must have 75 or more prime factors. Improving this bound requires the factorization of several large numbers (Hare), and attempts are currently underway to perform these factorizations using ECM factorization at mersenneforum.org and OddPerfect.org.»

Боюсь, что перевод подобных статей мне, как бывшему "французу со славарем", не под силу.

Цитата:

Nielsen (2006) also showed that a general odd perfect number, if it exists, must have at least 9 distinct prime factors.

Этот результат и приведенный Вами результат Hare об одном и том же или о разном?
Судя по датам, вроде, о разном.

[незваный гость]

“More recently, …

«Позднее Хар (Hare; 2005) показал, что любое нечетное совершенное число должно иметь по крайней мере 75 простых делителей. Улучшение этого результата требует разложения на множители нескольких больших чисел (Хар), и попытки факторизации делаются в рамках проектов mersenneforum.org и OddPerfect.org, используя метод эллиптических кривых (ECM).»

[Батороев]

незваный гость писал(а):

:evil:

“More recently, …

«Позднее Хар (Hare; 2005) показал, что любое нечетное совершенное число должно иметь по крайней мере 75 простых делителей. Улучшение этого результата требует разложения на множители нескольких больших чисел (Хар), и попытки факторизации делаются в рамках проектов mersenneforum.org и OddPerfect.org, используя метод эллиптических кривых (ECM).»

Этот результат, судя по всему, очень сильный!
Хотел написать "в отличие от некоторых других", но передумал...

По-видимому, во времена Catalan'а (1888 г.) найти произведение нескольких дробных чисел было большой проблемой (хотя П. Ферма каким-то образом высчитывал и более сложные величины ).
Так, для оценки минимального количества делителей для N, не кратных 3, 5 и 7, можно выполнить следующее:

Если переписать (9) следующим образом:
$ \frac{(p^a + p^{a-1} + ... + p + 1)}{p^a}\times\frac{q_1^{2k_1} + q_1^{2k_1-1} + ...+ q_1 + 1}{q_1^{2k_1}}\times....\times\frac{q_r^{2k_r} + q_r^{2k_r-1} + .... + q_r + 1}{q_r^{2k_r}} = 2 $ (14),
то придем к такому выражению:
$ (1+\frac{1}{p} +...+ \frac{1}{p^a})(1+\frac{1}{q_1} +...+ \frac{1}{q_1^{2k_1}})...(1+\frac{1}{q_r} +...+ \frac{1}{q_1^{2k_r}}) = 2 $ (15)

Т.к. пределом выражения в любой скобке является:
$ \lim\limits_{a \to \infty}{(1+\frac{1}{p} +...+ \frac{1}{p^a}) = \frac{p}{p-1} $,
$ \lim\limits_{2k_i \to \infty}{(1+\frac{1}{q_i} +...+ \frac{1}{q_i^{2k_i}}) = \frac{q_i}{q_i -1} $
и при $ q_i < q_{i+1} $
$ \frac{q_i}{q_i -1} > \frac{q_{i+1}}{q_{i+1} -1} $,
то для оценки минимального количества делителей чисел N, не кратных 3, 5, 7 достаточно рассмотреть неравенства:
$ \frac{11}{10}\frac{13}{12}...\frac{t_j}{t_j - 1} < 2 $
$ \frac{11}{10}\frac{13}{12}...\frac{t_{j+1}}{t_{j+1} - 1} > 2 $,
где $ t_j (t_1 = 11) $ - простые числа, бОльшие 7.

В данном случае, получаем $ j = 26 $.

Для чисел N, не кратных 3 и 5, при рассмотрении таким способом $ j = 14 $.

Улучшение этих результатов Norton'ом (1960 г.), по-видимому, стало возможным за счет появления ЭВМ (а может быть, я ошибаюсь и он нашел какие-то дополнительные кванторы аналитически).

p.s. Наверное, при вычислительных проверочных и др. расчетах совершенных чисел используется, именно, выражение (15) (или его аналог).

[Батороев]

Для каждой скобки выражения (15) можно определить пределы:
$ (1+ \frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}) < (1 + \frac{1}{p} +...+\frac{1}{p^a}) < \frac{p}{p-1} $ (16)
$ (1+\frac{1}{q_i}+\frac{1}{q_i^2}})<(1+\frac{1}{q_i}+…+\frac{1}{q_i^{2k_i}}) < \frac{q_i}{q_i-1}$ (17)

Если представить выражение (15) в виде:
$ (1+\frac{1}{t}+…+\frac{1}{t^s})B = 2 $, (18)
где $ t = q_i $ - наименьший делитель числа $ N $
(p на основании (8) не может быть минимальным делителем),
$ s = 2k_i $,
$ B $ - произведение оставшихся скобок выражения (15).

Чтобы выполнялось равенство (18) необходимо,
чтобы выполнялись два неравенства:
$ \frac{t}{t-1}B > 2 $ (18)
$ (1+ \frac{1}{t}+\frac{1}{t^2})B < 2 $ (19)
Откуда:
$ \frac{2(t-1)}{t} < B < \frac{2(t^3-t^2)}{t^3-1} $

Цитата:

Catalan (1888) proved that if an odd perfect number is not divisible by 3, 5, or 7, it has at least 26 distinct prime aliquot factors, and this was extended to 27 by Norton (1960). Norton (1960) showed that odd perfect numbers not divisible by 3 or 5, it must have at least 15 distinct prime factors.

Батороев писал(а):

... для оценки минимального количества делителей чисел N, не кратных 3, 5, 7...
В данном случае, получаем $ j = 26 $.

Для чисел N, не кратных 3 и 5, при рассмотрении таким способом $ j = 14 $.

Улучшение этих результатов Norton'ом (1960 г.), по-видимому, стало возможным за счет появления ЭВМ (а может быть, я ошибаюсь и он нашел какие-то дополнительные кванторы аналитически).

Если число не делится на 3, 5 и 7, то, чтобы минимальное число делителей равнялось 26, необходимо, чтобы минимальным делителем числа N было простое 11 (в противном случае потребуется более 40 делителей).
При $ t = 11 $
$ 1,8181818.. < B < 1,8195488.. $ (20)
25 простых чисел, следующих за 11, могут дать максимальное произведение:
$ \frac{13}{12}\frac{17}{16}\frac{19}{18}...\frac{113}{112} = 1,81050912 $, что не удовлетворяет условию (20).
Следовательно, в целом, необходимо не менее 27 делителей.
Аналогично можно убедиться, что для чисел N, не делящихся на 3 и 5, минимальное количество делителей - 15.

[kombosto]

привет всем!!!

люди кто нибудь знает иесть ли какаята денежная или другая награда за решения проблемы нечетных совершенных чисель?

[leweekend]

А не подскажете, в чем сложность доказательства? Я имею в виду, если взять нечетные числа от 1 до 1000, то только одно из них имеет сумму делителей больше самого числа - 945. Если уж много других трудных задач было решено в последние годы, почему нельзя как-нибудь проанализировать минимумы и максимумы функции $Sigma(n) / n$ и доказать, что для нечетных чисел эта функция строго 2 равняться не будет?

[Someone]

leweekend в сообщении #1381580 писал(а):

если взять нечетные числа от 1 до 1000, то только одно из них имеет сумму делителей больше самого числа - 945.

В смысле, больше удвоенного числа?

leweekend в сообщении #1381580 писал(а):

почему нельзя как-нибудь проанализировать минимумы и максимумы функции $Sigma(n) / n$ и доказать, что для нечетных чисел эта функция строго 2 равняться не будет?

Ну, функция $\sigma(N)$ при нечётных $N$ бесконечно много раз принимает значения меньше $2N$ и значения больше $2N$. Это легко выяснить с помощью формулы суммы делителей.