Время движения по брахистохроне

[Imedved]

Ссылки по теме:
https://wiki.sc/wikipedia/%D0%91%D1%80% ... 0%BD%D0%B0
http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Si ... 3/01-7.htm

То, как пришли к параметрическому уравнению обращенной вниз циклоиды, я понял. Проблема возникает если я пытаюсь вычислить само время (в секундах) при конкретных числах.
$$t=\int\limits_{0}^{x_2}\sqrt{\dfrac{1+y\prime^2}{2gy}}dx$
Проблема в том, что интеграл в выражении для времени РАСХОДИТСЯ. При $x=0$ подинтегральное выражение бесконечно, и никакие переходы к пределу после интегрирования не помогают - бесконечный он, этот интеграл. Причём для другой кривой, например, прямой линии или окружности этот интеграл вполне себе берётся. А для циклоиды - нет.

Решаю так: уравнения циклоиды
$\left\{ \begin{array}{rcl} x(\varphi)&=&R(\varphi-\sin\varphi)\\ y(\varphi)&=&R(1-\cos\varphi)\\ \end{array} \right.$

Из них вычисляю $ dy/d\varphi $ и $dx/d\varphi $, делю первое на второе получаю производную $dy/dx$. потом подставляю вместо $y$ и $dx$ их выражения от $\varphi $ и беру весь интеграл от $0$ до $\varphi_2$.
После всех упрощений получаю интеграл:
$$t=\sqrt{\frac{R}{g}}\int\limits_{0}^{\varphi_2}\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\cos\varphi}}$
При $\varphi=0$$ первообразная бесконечна.

Ошибок в подстановках и преобразованиях, вроде бы, нет. С другой стороны, по самому физическому смыслу изначальный интеграл должен сходиться: в числителе длина дуги, в знаменателе скорость движения. Ну не будет время бесконечным для циклоиды!

[Munin]

(Оффтоп)

$$t=\int\limits_a^b\sqrt{\frac{1+(y')^2}{2y}}dx$$

[Imedved]

Да, вот этот самый интеграл, при а=0 никак не берётся. Набирать формулы не умею, да. Прошу понять и простить.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Geen]

Imedved в сообщении #1381244 писал(а):

После всех упрощений получаю интеграл:

Как?

[Imedved]

Geen в сообщении #1381342 писал(а):

Imedved в сообщении #1381244 писал(а):

После всех упрощений получаю интеграл:

Как?

Как же мне лень это расписывать. Уважаемые модеры, фотку страницы, написанной ручкой точно нельзя?
Производную $\frac{dy}{dx}$ получил по формуле производной ф-ции, заданной параметрически:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi - 1}$$

Выражение для $dx$ простым дифференцированием параметрического выражения циклоиды для $x(\varphi)$:

$$dx=R(1-\cos\varphi)d\varphi$$

Подставляем всё это в исходный интеграл, при этом предел интегрирования изменяется: $x_2=x(\varphi_2)$:

$$t=\int\limits_{0}^{\varphi_2}\sqrt{\frac{1+(\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi - 1})^2}{2gR(1-\cos\varphi)}}R(1-\cos\varphi)d\varphi$$

(в интеграле после корня $2g$ были лишние)
После внесения под корень $(1-\cos\varphi)$ и всех сокращений остается:

$$t=\sqrt{\frac{R}{g}}\int\limits_{0}^{\varphi_2}\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\cos\varphi}}$$

[Otta]

Не остается. Пересчитайте аккуратнее предпоследний интеграл.

[Pphantom]

Imedved в сообщении #1381345 писал(а):

Уважаемые модеры, фотку страницы, написанной ручкой точно нельзя?

Нельзя.

Imedved в сообщении #1381345 писал(а):

После внесения под корень $(1-\cos\varphi)$ и всех сокращений остается

Вот на этой стадии ошибка. До нее все верно, после - результат неправилен.

-- 12.03.2019, 12:52 --

P.S. А, нет, и там не совсем все верно, $2 g$ в числителе лишние. Правда, на сходимость интеграла это не влияет.

[Imedved]

Понял, один из квадратов потерял. Не остается вообще ничего. Ответ:

$$t=\sqrt{\frac{R}{g}}\int\limits_{0}^{\varphi_2}d\varphi$$

[Pphantom]

Именно.