Ориентация граней n-симплекса

[Misuzu]

Ориентация $n$-симплекса индуцирует ориентацию его $(n-1)$-граней. Если для $2$-симплекса задана ориентация $(v_0, v_1, v_2)$, тогда ориентация его $1$-граней будет задана как $e_2=(v_0,v_1), e_0=(v_1,v_2),e_1=(v_2,v_0)$.

Формально, если $A^n=(v_0,v_1, \cdots, v_n)$ - ориентированный $n$-симплекс, тогда ориентация его $(n-1)$-граней с набором вершин $\{v_0, \cdots, {v}_{i-1}, {v}_{i+1}, v_n\}$ задается как $F_i=(-1)^i(v_0, \cdots, {v}_{i-1}, {v}_{i+1}, v_n)$

Мне непонятно последнее выражение. $(n-1)$-грани $n$-симплекса состоят из всех его вершин, кроме одной. Индекс этой вершины находится в показателе степени. На что умножается эта степень? На $-1$, если перестановка вершин нечетная, и на $1$, если четная?

Объясните, пожалуйста.

[Aritaborian]

А откуда дровишки формулы, из какой книги?

[Misuzu]

Aritaborian в сообщении #1380924 писал(а):

А откуда дровишки формулы, из какой книги?

http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE ... dathur.pdf

[Aritaborian]

а) Незачем перевирать переводить цитаты из англоязычной статьи, лучше давать в оригинале;
б) И где оно там? Да, всего 14 страниц, но и их как-то лень листать. Укажите точное место;
в) Вообще говоря, ваша идея похожа на правду, но лучше бы уточнить...

UPD. Нашёл, это в конце второй страницы.

-- 10.03.2019, 14:53 --





Так, я надеюсь, более сведущим людям будет легче понять, о чём речь.

(Модераторам)

Надеюсь, мне не прилетит за неоформление формул.

[arseniiv]

Картинка неправильная ($e_0$ направлен не туда), но в тексте как надо.

Misuzu в сообщении #1380896 писал(а):

Индекс этой вершины находится в показателе степени. На что умножается эта степень? На $-1$, если перестановка вершин нечетная, и на $1$, если четная?

Наверно, не степень умножается, а что она даёт целиком. $+1$ если индекс вершины чётный и $-1$, если нечётный. Перестановка же вершин там никак не участвует, тем более что они там кроме одной.

Мы конечно можем начать их переставлять и умножать всё на чётность перестановки, но незачем.

[Misuzu]

Осталось непонимание того, как работает граничный оператор. В той статье на третьей странице он сопоставляет $n$-симплексу формальную сумму $n$ граней. Но, например, 2-симплекс имеет три 1-грани, а граничный оператор, если пользоваться определением из статьи, ставит в соответствие сумму двух граней. Как правильно? Я пишу со смартфона после работы и не могу приложить картинку.

Увидел, что там индексы с нуля. Вчера устал и не обратил внимания.

Интересно работать с геометрическими фигурами как с элементами модуля.

[Munin]

Этот набор определений есть по-русски в книжке
Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии.
где-то в районе § 8.6,
если вам так будет удобней.

[arseniiv]

Misuzu в сообщении #1381220 писал(а):

Но, например, 2-симплекс имеет три 1-грани, а граничный оператор, если пользоваться определением из статьи, ставит в соответствие сумму двух граней. Как правильно? Я пишу со смартфона после работы и не могу приложить картинку.

Приложите когда сможете. Вообще должны быть конечно все грани размерностью на 1 меньше самого симплекса. Может, там опечатка, может ещё что-то.

-- Вт мар 12, 2019 00:03:09 --

А, это вы из-за 0-based индексов так решили? Ну тогда хорошо, что всё само уже сошлось.

[Munin]

Misuzu в сообщении #1381220 писал(а):

Но, например, 2-симплекс имеет три 1-грани, а граничный оператор, если пользоваться определением из статьи, ставит в соответствие сумму двух граней.

Это с чего вы взяли? Определение:

Цитата:

$$\delta(A^n)=A^{n-1}{}_0+A^{n-1}{}_1+\cdots+A^{n-1}{}_n$$

Применяем:

$$\delta(A^2)=A^1{}_0+A^1{}_1+A^1{}_2.$$

[vpb]

Misuzu
В статье указана книжка Понтрягина, в конце. Почему бы Вам ее не почитать (она, конечно, и на русском есть, Основы комбинаторной топологии) ? Это по данным вопросам такая же жемчужина, как Фихтенгольц по матану. Сразу всё на свои места встанет.