Жук на соломинке

[pogulyat_vyshel]

Эта задача довольно часто встречается и в учебниках и в интернетах, но решают ее, как правило, неверно.

На гладком горизонтальном полу лежит тонкая соломинка массы $M$ и длины $2l$. На одном из концов соломинки сидит жук массы $m$. С какой минимальной по модулю скоростью должен прыгнуть жук, чтобы оказаться на другом конце соломинки?

[Sender]

С минимальной по модулю относительно стола или же относительно соломинки?

[pogulyat_vyshel]

Относительно пола

upd: исправил "стол" на "пол"

[Geen]

А скорость отсчитывается от пола или от соломинки?
(И соломинка однородная?)

[Sender]

На первый взгляд, ничего сложного. Пусть жук в момент прыжка относительно стола приобретает скорость, модуль горизонтальной компоненты которой $v_x$, а вертикальной - $v_y$. Тогда время полёта $t=\frac{2v_y}{g}$. Соломинка приобретёт скорость $\frac{m}{M}v_x$. Имеем: $2l=2(1+\frac{m}{M})v_x \frac{v_y}{g}$. Минимум модуля достигается, очевидно, при равенстве компонент. $v=\sqrt{\frac{2 gl}{1+\frac{m}{M}}}$.

[dobrichev]

Хотя наверное такой сценарий не подразумевается, в реальной жизни, при некоторых параметров, оптимальный прыжок не будет в вертикальной плоскости проходящей через соломинку. (Жук поворачивает соломинку под своих ногах.)

[miflin]

Наспех сделал выкладки, начал проверять, но тут увидел такой же ответ у Sender.
Ну, значит, так тому и быть.
Прыгает под $45^o$. Жук во время прыжка по соломинке не скользит.

-- 10.03.2019, 12:53 --

Munin в сообщении #1380919 писал(а):

Только с минусом.

Угу.

[pogulyat_vyshel]

dobrichev в сообщении #1380918 писал(а):

оптимальный прыжок не будет в вертикальной плоскости проходящей через соломинку.

в этом-то все и дело

[Geen]

масса жука должна быть не менее половины массы соломинки (при однородной соломинке)...

-- 10.03.2019, 16:03 --

Не знаю куда деть "второй корень", а так удаётся улучшить скорость (при подходящих соотношениях масс) в корень четвёртой степени из двух раз.

[pogulyat_vyshel]

Geen в сообщении #1380942 писал(а):

в корень четвёртой степени из двух раз.

вот этого вы получить не можете, вы должны получить трансцендентное уравнение, которое явно не решается и исследовать его качественно

[wrest]

Ну раз пол скользкий, то минимальная скорость, видимо, стремится к нулю. Ну а как прыгать: жуку надо лечь рядом с первым концом соломинки и легонечко оттолкнуться от соломинки в сторону второго конца. Соломинка и жук станут скользить навстречу (пол то скользкий).

[Geen]

pogulyat_vyshel в сообщении #1381016 писал(а):

Geen в сообщении #1380942 писал(а):

в корень четвёртой степени из двух раз.

вот этого вы получить не можете, вы должны получить трансцендентное уравнение, которое явно не решается и исследовать его качественно

Само собой. Но при подходящих соотношениях масс это уравнение ($x=\sin 3\frac{m}{M+m}x$) имеет простое решение 1. (тройка вылазит из момента инерции)

[pogulyat_vyshel]

Geen в сообщении #1381022 писал(а):

ие ($x=\sin 3\frac{m}{M+m}x$)

у меня так же