Спектр алгебры

[rishelie]

Правильно ли я понимаю, что спектром алгебры матриц вида $\begin{pmatrix}a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ (a и b - вещественные) является множество, состоящее из единственного характера $\chi$, который матрице сопоставляет число $z=a+bi$ ?

Соответственно, гомоморфизм Гельфанда будет точно таким же - просто переводит матрицы в числа $z=a+bi$ ?

[Slav-27]

А что вы называете спектром $\mathbb R$-алгебры? В любом случае ваша $\mathbb R$-алгебра как кольцо изоморфна $\mathbb C$, так что идеалов там раз, два и обчёлся.

[rishelie]

На самом деле меня больше интересует как бы пощупать коммутативную теорему Гельфанда-Наймарка на каком-то простом примере.
С вещественной алгеброй я конечно малость перегнул) Но можно ли взять что-то аналогичное комплексное?
Может быть, матрицы эрмитовых операторов подойдут?

[Slav-27]

rishelie в сообщении #1380375 писал(а):

Но можно ли взять что-то аналогичное комплексное?

Попробуйте $\mathbb C$, произведения $\mathbb C\times \mathbb C\times...\times\mathbb C$, групповые алгебры каких-нибудь конечных абелевых групп, $L^1(\mathbb R)$...

-- 08.03.2019, 01:30 --

Можно и эрмитовы операторы, но не какие попало, вы же хотите, видимо, чтобы алгебра была коммутативная и банахова.

[rishelie]

Мне пришла в голову такая конструкция.
Возьмем множество всех функционалов $f_\phi(x)=(x,\phi)$ (скалярное произведение аргумента на вектор-параметр), где $x,\phi\in \mathbb C$
Складывать и умножать будем поточечно. Это уже получается коммутативная банахова алгебра.
Чтобы сделать ее унитальной, вместо $f_\phi$ будем рассматривать упорядоченные пары $(f_\phi,\lambda)$ с умножением

$$ (f_\phi,\lambda)(f_\psi,\mu)=(f_\phi f_\psi+\lambda f_\psi + \mu f_\phi,\lambda\mu) $$

Единицей будет пара $(0,1)$. Пары $(f_\phi,\lambda)$ образуют уже коммутативную унитальную $C^*$-алгебру, если я ничего не путаю.

Далее нужно построить ее спектр. По-видимому, как минимум все функции вида

$$ \chi_x(f_\phi,\lambda) = (x,\phi)+\lambda $$

являются характерами нашей алгебры. Так? Во всяком случае все $\chi_x$ при фиксированном $x$ линейны и сохраняют умножение, а также единицу.

То есть, спектр построенной алгебры содержит как минимум $\mathbb C^n$.

И тут у меня сразу появляются подозрения на ошибки, т.к. ожидаю увидеть компактный спектр (в слабой топологии поточечной сходимости). Но возможно просто надо было точке $\infty$ какой-то характер сопоставить.

Во-вторых, алгебра пар $(f_\phi,\lambda)$ должна быть изометрично *-изоморфна пространству всех непрерывных функций на спектре, коих явно больше, чем $\mathbb C^{n+1}$.

В общем, что-то я тут явно не понимаю.

[g______d]

rishelie в сообщении #1380839 писал(а):

Мне пришла в голову такая конструкция.
Возьмем множество всех функционалов $f_\phi(x)=(x,\phi)$ (скалярное произведение аргумента на вектор-параметр), где $x,\phi\in \mathbb C$

Можете поточнее? Что такое аргумент и вектор-параметр? Опишите Вашу алгебру как множество немного более формально.

[rishelie]

Алгебра {\mathcal A}=\{ f_{\varphi} | f_\varphi(x)=(x,\varphi),\; x,\varphi\in\mathbb C^n\},
$(x,\varphi)$ - скалярное произведение (тут как-то странно ТеХ работает местами)

Сложение: $(f_\varphi + f_\psi)(x) = (x,\varphi+\psi)=f_{\varphi+\psi}(x)$, умножение на число: $(\lambda f_\varphi)(x) = \lambda(x,\varphi)$.

Умножение: $(f_\varphi f_\psi)(x) = (x,\varphi)(x,\psi)$.

Сопряжение: $f^*_\varphi(x) = \overline{(x,\varphi)}$.

Введение единицы описал выше, делал по книжке Сегеева

Так что от алгебры $\mathcal A$ переходим к алгебре $\mathcal A^+=\{(f_\varphi,\lambda)| f_\varphi\in{\mathcal A}, \lambda\in\mathbb C\}$. По сути каждый элемент алгебры определяется $n+1$-мерным вектором $(\varphi,\lambda)$.

Вопрос: какие у нее характеры? Как выглядит преобразование Гельфанда?

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

rishelie в сообщении #1380899 писал(а):

тут как-то странно ТеХ работает местами

Это просто вы немножко с расстановкой долларов ошиблись.

[g______d]

rishelie в сообщении #1380899 писал(а):

Умножение: $(f_\varphi f_\psi)(x) = (x,\varphi)(x,\psi)$.

Результат умножения не обязательно принадлежит множеству из первой строчки: произведение линейных функционалов, вообще говоря, не является линейным функционалом.

[rishelie]

g______d в сообщении #1381001 писал(а):

rishelie в сообщении #1380899 писал(а):

Умножение: $(f_\varphi f_\psi)(x) = (x,\varphi)(x,\psi)$.

Результат умножения не обязательно принадлежит множеству из первой строчки: произведение линейных функционалов, вообще говоря, не является линейным функционалом.

Ох, вот это я облажался) Спасибо!
Привык, понимаешь, с множествами произвольных функций дело иметь...
Все-таки возвращаться в науку после 40 - дело неблагодарное и довольно бессмысленное))

Тогда единственное произведение, которое сходу приходит в голову, это

$$(f_\varphi f_\psi)(x) = (x,\varphi\psi),$$

где $\varphi\psi = (\varphi_1\psi_1,\dots,\varphi_n\psi_n)$ - поточечное произведение.
Но тогда наша алгебра будет просто алгеброй векторов в $\mathbb C^n$, а характерами будут

$$ \chi_k(f_\varphi) = \varphi_k, $$

и преобразование Гельфанда

$$G(f_\varphi)(\chi_k) = \chi_k(f_\varphi) = \varphi_k, $$

То есть, функционалу $f_\varphi$ соответствует вектор $\varphi$, ожидаемо и ничего интересного)

Спасибо еще раз! )