координаты точки (проекция, вектора)

[Андрей]

Знаете мне кажется, что матрицы поворота тесно связаны с проекцией воекторв на оси координат. Я попробую это изобразить на рисунке, и на основе этого рисунка построить матрицы поворота.

Добавлено спустя 58 минут 38 секунд:

Я конечно не знаю как правильно строить матрицы поворота, но исходя из опыта проекций векторов на оси мне кажется это должно быть так.

Исходя из чертежа 3, матрица поворота вокруг оси OX имеет такой вид:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\beta & -\sin\beta \\ 0 & \sin\beta & \cos\beta \\ \end{pmatrix}
Матрица поворота вокруг оси OZ имеет такой вид:
\begin{pmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0\\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
После умножения матрицы поворота вокруг оси OZ на матрица поворота вокруг оси OX получаю такую матрицу
\begin{pmatrix} cos\gamma & -sin\gamma cos\beta & sin\gamma sin\beta \\ sin\gamma & cos\gamma cos\beta & - cos\gamma sin\beta \\ 0 & sin\beta & cos\beta \\ \end{pmatrix}
Затем умножил ее на
\begin{pmatrix} 0\\ l\\ 0\\ \end{pmatrix}
В итоге получаем что

X_K= -l sin\gamma cos\beta Y_K= l cos\gamma cos\beta Z_K= l sin\beta

Т.е. мало того что координата Zк без знака минус, так еще вылез минус у координаты Xк, в общем наверно я опять что то где то напутал. Хотя смотрю на рисунки, формулы кажется все правильно.

Помогите понять где я ошибся, что не так.

[Алексей К.]

Вникнуть в детали (пока) не смог, но, возможно, Вы пытаетесь что-то упростить, и, например, разложить поворот вокруг некой Вам известной оси на "элементарные" повороты. Тогда поимейте в виду, что на этот случай существует общая формула: матрица поворота вокруг произвольной оси

Добавлено спустя 4 минуты 26 секунд:

Андрей в сообщении #137875 писал(а):

Знаете мне кажется, что матрицы поворота тесно связаны с проекцией векторв на оси координат

Матрица поворота просто составлена из координат тех векторов, в которые после поворота превратились орты системы координат.

Добавлено спустя 18 минут 2 секунды:

А ежели смогу заставить себя попроверять (нет бы вчера --- было так скучно на пляже! всё что угодно порешал бы!), то первым делом посмотрю, правильно ли Вы матрицы перемножали, $M_1{\times} M_2$ или $M_2{\times} M_1$? Сами Вы на этот момент внимание обращали?

[Андрей]

Сами матрицы вроде перемножил правильно перепроверял несколько раз. А насчет в каком порядке М1 на М2, или М2 на М1 то это вопрос уже этот поднимался

ewert в сообщении #137764 писал(а):

А кто Вам разрешил переставлять? Умножение матриц не коммутативно, и результаты могут быть не предсказуемыми. Вот минус куда-то и завалился.
Впрочем, арифметику я не проверял.

ewert в сообщении #137770 писал(а):

Матрицу второго поворота надо ставить слева от матрицы первого, так что сходится.
Что касается знаков -- тут надо внимательно следить: определение матрицы поворота должно быть согласовано с тем, какие углы поворота считаются положительными и какие -- отрицательными.

так что умножал как сказали более сведущие товарищи.
И еще пожалуйста посмотрите правильно ли знаки в матрицах поставил, а то я часто со знаками плутаю.

[Алексей К.]

Да, заметил, про порядок перемножения уже писали. Ещё один момент. Когда Вы делаете первый поворот, скажем, вокруг оси аппликат ($OZ$), векторы $OX$ и $OY$ заняли новое положение $OX'$ и $OY'$. Ежели Вы теперь вводите второй поворот, скажем, относительно оси абсцисс, то $OX$ или $OX'$ является осью поворота?

Не поможет ли в рассуждениях про положительный/отрицательный угол поворота понятие векторного произведения (возможно в виде какого-нибудь правила буравчика, главное, чтобы оно Вам было известно)? Если вектор $OK$ после поворота на положительный (меньший 180, разумеется) угол занял новое положение $OK'$, то ось поворота есть направление векторного произведения $OK\times OK'$.

Наконец, заметим, что стало очень многабуков. Не переписать ли задачку начисто? В свете того, что Вы уже многое, наверное поняли. При переписывании более не употреблять некорректных неоднозначных фраз типа

Андрей в сообщении #137176 писал(а):

Имеется стержень ОК, который наклонен относительно осей на углы β и γ.

(Что, по Вашему, ось абсцисс наклонена на 90 градусов относительно оси ординат? "Составляет с такой-то осью такой-то угол")
При переписывании предлагаю не заводить новых систем координат. Одна есть, гвоздями навечно прибитая, в ней и крутимся. Просто, например , второй поворот делаем чётко относительно вектора $OY=(0,1,0)$ или чётко относительно вектора $OZ'=(\ldots)$.
Извините за ещёбольшебукав.

Добавлено спустя 2 минуты 45 секунд:

Ну, а если осталось только проверить перемножение матриц, то ничего не надо переписывать. Убегаю обедать. Попроверяю.

[Андрей]

В принципе Ваше идея заново сформулировать условия задачи хороша, уже сам бываю забываюсь че хотел, боюсь от много буквания мы неуйдем потмучто мне с ними понятние, это же касается и осей координат образовавных после различных поворотов. Так что щас попробую забацать более правильную постановку задачи.

Добавлено спустя 56 минут 36 секунд:

Итак после долгих и упорных обсуждений мы пришли к тому что ранее поставленная задача должна звучать так.
Имеется стержень ОК длина которого l. В начало стержня точку О помещена система координат XYZO, таким образом что стержень совпадает с положительным направлением оси OY (чертеж 2). Таким образом очевидно что координаты точки К следующие: Xк = 0, Yк = l, Zк = 0 т.е. (0, l, 0).

Затем стержень ОК поворачивают на углы β, γ в два этапа:
1 этап) поворачивают относительно оси OX на угол β (поворот происходит по ходу часовой стрелке если смотреть с положительного конца оси OX), таким образом получаем новую систему координат X’Y’Z’O;
2 этап) поворачивают относительно оси OZ на угол γ (поворот происходит по ходу часовой стрелке если смотреть с положительного конца оси OZ), таким образом получаем новую систему координат X’’Y’’Z’’O.

Определить какие будут координаты точки К в системе координат X’’Y’’Z’’O. Решение этой задачи приведено выше на три поста.

Вопрос в том что очевидно что координата Zк после всех этих поворотов стержня ОК должна быть с минусом, а у меня выходит без минуса да еще Xк оказывается с минусом. По логике получается где то в матрицах поворотов ошибка, хотя мое мнение которое я неоднократно озвучивал что мы поворачиваем сам стержень ОК, а матрицы поворота ведь относятся именно к повороту осей координат. В общем укажите пожалуйста где я допустил ошибку, а может задача решается другим путем?

Добавлено спустя 11 минут 29 секунд:

Блин можно подумать вокруг одни строители и со всеми надо отметить их праздник. Извините пожалуйста надо идти, постараюсь сегодня еще заглянуть на форум.

[Алексей К.]

Заметьте, что в данной мною выше ссылке на Википедию ---

Алексей К. в сообщении #137937 писал(а):

на этот случай существует общая формула: матрица поворота вокруг произвольной оси

имеются также и простые случаи --- матрицы Бодигрима для поворотов вокруг координатных осей. И там никто не комментирует --- с какого конца оси смотреть, и не ссылаются на часовую стрелку. Ибо для этого есть готовые соглашения (упомянутьй буравчик). Видимо, не зная их, Вы подробно расписали, что имеете в виду:

Андрей в сообщении #137951 писал(а):

1 этап) поворачивают относительно оси OX на угол β (поворот происходит по ходу часовой стрелке если смотреть с положительного конца оси OX),

Это описание позволяет сделать вывод: речь идёт о повороте на угол $-|\beta|$ (минус бэта). Именно его надо использовать в формулах, чтобы получить правильные координаты вектора $OK'$, итога первого поворота.

Андрей писал(а):

таким образом получаем новую систему координат X’Y’Z’O;

Мне она для дальнейшего не нужна. Тем более, что Вы поворачиваете $OK'$ вокруг изначальной оси $OZ$ (а не новой $OZ'$):

Андрей писал(а):

2 этап) поворачивают относительно оси OZ на угол γ (поворот происходит по ходу часовой стрелке если смотреть с положительного конца оси OZ), таким образом получаем новую систему координат X’’Y’’Z’’O.

Это тоже поворот на МИНУС гамма в стандартных формулах (т.е. на $\gamma$, но $-180^\circ<\gamma<0^\circ\:!$).
Эти соображения помогают?

(Признаюсь, что в своих опытах я смотрел на секундную стрелку --- часовая у меня очень медленно крутится. Но мне показалось, это одно и то же направление вращения. Труднее всего было, когда вокруг оси $OZ$ крутил --- дрель пришлось брать, крючочек в потолок, часы в бинокль рассматривать...).

Добавлено спустя 40 минут 18 секунд:

Андрей в сообщении #137944 писал(а):

так что умножал как сказали более сведущие товарищи.

А постарайтесь это понять сами: $OK'=M_1\times OK$, где $M_1$ --- матрица первого поворота. Ну и $OK''=M_2\times OK'$. Т.е.

$$OK''=M_2\times OK'=M_2\times(M_1\times OK)=\underbrace{M_2\times M_1}_{\mbox{итоговая м-ца}}\times OK$$

[Андрей]

Надеюсь в ходе всех Ваших изысканий потолок несильно пострадал. Спасибо за итоговую матрицу М2 на М1 на ОК действительно помогло.
В своих последних матрицах поворота знаки для вех этих синусов и косинусов я брал из соображений проекций векторов на оси координат т.е. если образовывается острый угол я ставлю знак плюс, если угол тупой то знак минус, как Вы думаете такой подход подойдет.
А то к своему огромному стыду я несовсем четко помню это самое правило буравчика.
Честно говоря я несовсем понял

Алексей К. в сообщении #137983 писал(а):

Это описание позволяет сделать вывод: речь идёт о повороте на угол (минус бэта). Именно его надо использовать в формулах, чтобы получить правильные координаты вектора , итога первого поворота.

Вы предлагаете в приведеных мною матрицах поменять знаки на противоположные? Все таки я неправльно написал матрицы поворота?

[Алексей К.]

Андрей писал(а):

Вы предлагаете в приведеных мною матрицах поменять знаки на противоположные? Все таки я неправльно написал матрицы поворота?

Вкратце --- да. Знаки углов, а не "знаки для вех этих синусов и косинусов ". Тупость или острость угла никакого значения не имеет. Важно правильно определиь знак. Мои сегодняшние возможности ограничены --- у Вас кончился день строителя, у меня начался день шофёра. (Завтрашние будут ограничены тем, что день рабочий). Собеседники (убежавшие, похоже, на день математика) --- я не ошибся в своих минусах? (Только не пишите, что у Вас нет дрели... или часы без стрелок...).

[Андрей]

Не поверите но дрели нет, сверлильный станок на работе подойдет? Попробую поменть знаки на противоположные в матрицах поворота посмотрим что получится. И если несложно напомните как звучить это правило буравчика, помню со школы шо что то куда то надо вкручивать и откудато смотреть а потом провал в памяти.

[ewert]

если я -- собеседник, то дрели у меня нет. Т.е. вроде и есть, но ключ от патрона куда-то завалился, и найти в моём бардаке нет никакой возможности.

Что же до возни со знаками, то как-то скушно. Вроде ясно сказано, от какой оси к какой поворачивать, ну и надо соотв. образом модифицировать стандартную матрицу. Что до знака зет -- я уже говорил, и повторю: нефиг изощряться в творческих способностях, надо просто сперва направить эту полуось стандартно и уже в самом конце перевернуть.

[Андрей]

Дяденька, может подскажите правльно ли я навоял свои последние матрицы или нет, логика построения та.... ну пожалуйстаааааа.

[Алексей К.]

Андрей в сообщении #138009 писал(а):

И если несложно напомните как звучить это правило буравчика

Считаю, что все заводские штопоры (в нашем полушарии?) выполнены по правилу буравчика. Тогда при вращении штопора в положительном направлении (моё ограничение 180 градусами здесь несущественно) сам штопор движется в направлении оси вращения $\Omega$. Иными словами, вращение вокруг оси положительно, если штопор движется в направлении оси вращения (а не противоположно ему). Иными словами, вектора $OK$, $OK'$, $\Omega$ образуют правую тройку.
В Ваших предыдущих письмах положительному углу соотв. вращение ПРОТИВ секундной стрелки (а не ПО).

Добавлено спустя 6 минут 14 секунд:

Андрей в сообщении #138012 писал(а):

Дяденька, может подскажите

Деточка, типа завтра постараюсь типа знаки поменять. Дрели, штопоры --- ни магу больше.

[Андрей]

Благодарю за доходчивый пример кое что прояснилось, хотя конечно на счет правой тройки кое что не понятно. Правая тройка это типа если поворот от оси Х к оси Y против секундной стрелке то системая координат правая а в обратном случае левая, так?

[ewert]

Андрей писал(а):

Дяденька, может подскажите правльно ли я навоял свои последние матрицы или нет, логика построения та.... ну пожалуйстаааааа.

А смысл? -- Вы ж всё равно не реагируете.

[Алексей К.]

Если отогнутый большой палец ладони ПРАВОЙ руки расположить вдоль вектора $OK$, а остальными пальцами изобразить вектор $OK'$ (хоть под тупым_положительным углом, хоть под острым_положительным --- пальцы позволяют), то ось вращения будет ВЫходить из ладони (а не входить в неё).
Это вместо "смотрю с такого-то конца, крутисмя по/против стрелки").
Скорее всего, Ваши формулы верны, только считать надо при $-30^\circ$, $-123^\circ$,а не $+30^\circ$, $+123^\circ$. И может то, что при этом должно быть очевидно положительно (не вникал, признаюсь), таковым и останется? Завтра!