Гамильтоновы пути и циклы на графе ладьи

[kthxbye]

Англоязычные ресурсы не спасают, но надежда ещё теплится, поэтому взываю к вашей мудрости.

Довольно продолжительное время интересуюсь количеством гамильтоновых путей и циклов (точнее формулами в явном виде), в особенности для графа ладьи на доске $n\times m$. В OEIS имеются по две последовательности (одна для путей, другая для циклов) для $n\times 2$ (A096121, A276356) и $n\times m$ (A269562, A269565).

Явные формулы (и рекуррентные соотношения) есть только для $m=2$. Я прошёлся практически по всем ссылкам, но нигде нет ни доказательства, ни намеков на возможность существования явной формулы для $m>2$. Гугл и англоязычные сайты-вопросники тоже не помогли.

Буду очень признателен за:

1. адекватную оценку тривиальности проблемы;
2. отсылки к статьям, содержащим вменяемые ответы;
3. доказательство частного случая $m=2$;