2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение03.03.2019, 14:53 


16/08/05
1145
Можно ли доказать, что уравнение $x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2$ в натуральных числах кроме $ x=\{1,2,3,7,21\}$ не имеет других решений?

 Профиль  
                  
 
 Re: x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение04.03.2019, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1867
Санкт-Петербург
dmd в сообщении #1379570 писал(а):
... не имеет других решений

Не факт. Если $x$ свободно от квадратов, то $x \mid 7\cdot 6=42$, и все варианты приведены выше. Но положим к примеру $x=21z^2, y\ \vdots\ 21z$.

$21z^2(21^2z^4-5\cdot 21z^2+7)(21^2z^4-4\cdot 21z^2+6)=y^2$

Делим всё на $(21z)^2$:
$$\dfrac{(21^2z^4-5\cdot 21z^2+7)(21^2z^4-4\cdot 21z^2+6)}{21}=\left ( \dfrac{y}{21z} \right )^2=(63z^4-15z^2+1)(147z^4-28z^2+2).$$ Почему оно не может оказаться целым квадратом помимо $z=1$, не знаю. Просто это могут быть большие числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение04.03.2019, 00:43 


05/09/16
11421
Andrey A в сообщении #1379696 писал(а):
Просто это могут быть большие числа.

До $z=10^8$ решение только $z=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение04.03.2019, 08:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1867
Санкт-Петербург
wrest
Вольфрам тоже других не видит, но он и начального уравнения не все решения видит. С него станется. На всякий случай $z=10k\pm 1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение04.03.2019, 08:36 


16/08/05
1145
Andrey A в сообщении #1379720 писал(а):
wrest
Вольфрам тоже других не видит, но он и начального уравнения не все решения видит. С него станется. На всякий случай $z=10k\pm 1.$

Изображение
Оптимальнее $z=5k\pm 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение04.03.2019, 09:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1867
Санкт-Петербург
dmd
Четное $z$ противоречит по $\mod 100:\ 58,54,2$ — квадратичные невычеты. А на счет Вольфрама согласен, тут как задашь.

 Профиль  
                  
 
 Re: x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение04.03.2019, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1867
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1379696 писал(а):
$...\ (63z^4-15z^2+1)(147z^4-28z^2+2)$

Из соображений сравнимости можно вывести, что выражения в скобочках могут иметь общим делителем $>1$ либо $3$, либо $9$, но ни на то ни на другое они не делятся, то есть вз. просты, а значит должны быть целыми квадратами: $63z^4-15z^2+1=u^2,\ 147z^4-28z^2+2=v^2.$ Решая пару уравнений относительно $z^2$, получаем систему из двух Пеллей:

$(42z^2-5)^2-28u^2=-3$
$(21z^2-2)^2-3v^2=-2$

Имеем бесконечную серию решений, но на каком шаге старшие квадраты совпадут нужным образом, и совпадут ли — то нам не ведомо. А ведь $21$ взято с потолка для наглядности, подобные расклады ожидаемы и для других делителей числа $42$. Не знаю. Надо бы гипотезу Эрдёша — Моллина — Уолша взять и поместить в ПР/Р, вдруг сработает!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group