2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение03.03.2019, 14:53 


16/08/05
1146
Можно ли доказать, что уравнение $x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2$ в натуральных числах кроме $ x=\{1,2,3,7,21\}$ не имеет других решений?

 Профиль  
                  
 
 Re: x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение04.03.2019, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1886
Санкт-Петербург
dmd в сообщении #1379570 писал(а):
... не имеет других решений

Не факт. Если $x$ свободно от квадратов, то $x \mid 7\cdot 6=42$, и все варианты приведены выше. Но положим к примеру $x=21z^2, y\ \vdots\ 21z$.

$21z^2(21^2z^4-5\cdot 21z^2+7)(21^2z^4-4\cdot 21z^2+6)=y^2$

Делим всё на $(21z)^2$:
$$\dfrac{(21^2z^4-5\cdot 21z^2+7)(21^2z^4-4\cdot 21z^2+6)}{21}=\left ( \dfrac{y}{21z} \right )^2=(63z^4-15z^2+1)(147z^4-28z^2+2).$$ Почему оно не может оказаться целым квадратом помимо $z=1$, не знаю. Просто это могут быть большие числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение04.03.2019, 00:43 


05/09/16
11589
Andrey A в сообщении #1379696 писал(а):
Просто это могут быть большие числа.

До $z=10^8$ решение только $z=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение04.03.2019, 08:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1886
Санкт-Петербург
wrest
Вольфрам тоже других не видит, но он и начального уравнения не все решения видит. С него станется. На всякий случай $z=10k\pm 1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение04.03.2019, 08:36 


16/08/05
1146
Andrey A в сообщении #1379720 писал(а):
wrest
Вольфрам тоже других не видит, но он и начального уравнения не все решения видит. С него станется. На всякий случай $z=10k\pm 1.$

Изображение
Оптимальнее $z=5k\pm 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение04.03.2019, 09:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1886
Санкт-Петербург
dmd
Четное $z$ противоречит по $\mod 100:\ 58,54,2$ — квадратичные невычеты. А на счет Вольфрама согласен, тут как задашь.

 Профиль  
                  
 
 Re: x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах
Сообщение04.03.2019, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1886
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1379696 писал(а):
$...\ (63z^4-15z^2+1)(147z^4-28z^2+2)$

Из соображений сравнимости можно вывести, что выражения в скобочках могут иметь общим делителем $>1$ либо $3$, либо $9$, но ни на то ни на другое они не делятся, то есть вз. просты, а значит должны быть целыми квадратами: $63z^4-15z^2+1=u^2,\ 147z^4-28z^2+2=v^2.$ Решая пару уравнений относительно $z^2$, получаем систему из двух Пеллей:

$(42z^2-5)^2-28u^2=-3$
$(21z^2-2)^2-3v^2=-2$

Имеем бесконечную серию решений, но на каком шаге старшие квадраты совпадут нужным образом, и совпадут ли — то нам не ведомо. А ведь $21$ взято с потолка для наглядности, подобные расклады ожидаемы и для других делителей числа $42$. Не знаю. Надо бы гипотезу Эрдёша — Моллина — Уолша взять и поместить в ПР/Р, вдруг сработает!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group