Частица на плоскости в поле силы Лоренца

[pogulyat_vyshel]

Частица массы $m$ движется в плоскости в поле неподвижного притягивающего центра и силы Лоренца:

$$m\boldsymbol a=[\boldsymbol B,\boldsymbol v]-\gamma\frac{\boldsymbol r}{r^3},\quad |\boldsymbol r|=r,$$

где $ \gamma=const>0$, а постоянный вектор $\boldsymbol B\ne 0$ направлен перпендикулярно плоскости. $\boldsymbol v$ -- скорость частицы; $\boldsymbol r$ -- радиус-вектор чяастицы, торчащий из притягивающего центра.

Вопрос: может ли траектория частицы быть замкнутой кривой такой, что притягивающий центр лежит вне области, которую ограничивает данная кривая?

[Munin]

А какую область считать "ограниченной данной кривой", если кривая имеет самопересечения ("петли")?

[lel0lel]

Попробую написать набросок решения. Функция Лагранжа для частицы в магнитном поле и в поле центральной силы

$$L=\frac{mv^2}{2}+\frac{q}{c}({\bf A v})-U(r)$$

В нашем случае (магнитное поле по оси $z$) можно выбрать $A_x=-yB/2, A_y=xB/2, A_z=0$. В полярных координатах (начало совпадает с кулоновским источником):

$$L=\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)+\frac{B}{2}r^2\dot{\varphi}+\frac{\gamma}{r},\, \text{ здесь} \quad \frac{q}{c}=1.$$

Получаем интеграл и диффур:

$$r^2(m\dot{\varphi}+B/2)=\operatorname{const},\,\,m\ddot{r}=mr\dot{\varphi}^2+B\dot{\varphi}r-\frac{\gamma}{r^2}$$

Выберем начальные условия в виде: $\varphi(0)=0,\dot{\varphi}(0)=0,r(0)=r_0,\dot{r}(0)=v_0$. Тогда

$$\dot{\varphi}=\frac{B}{2m}\frac{r_0^2-r^2}{r^2}, \quad m\ddot{r}=\frac{B^2}{4m}\frac{(r_0^2-r^2)^2}{r^3}+\frac{B^2}{2m}\frac{r_0^2-r^2}{r}-\frac{\gamma}{r^2}.$$

Диффур по $r$ намекает, что траектория будет иметь две радиальные точки поворота, между которыми частица будет совершать периодические колебания. Вот только с доказательством замкнутости не всё гладко, нужно усреднять $1/r^2$ по периоду.

[scwec]

По этому поводу достаточно объемный текст с рисунками $\S{7}$ Классический эффект Зеемана
в учебнике "Дополнительные главы аналитической механики" В.Г.Сербо, В.С.Черкасский, 2013 год.

[pogulyat_vyshel]

scwec в сообщении #1379369 писал(а):

нике "Дополнительные главы аналитической механики" В.Г.Сербо, В.С.Черкасский, 2013 год.

Книжка интересная, спасибо. Но там вроде-бы все стандартно, существование таких траекторий просто не обсуждается

[chislo_avogadro]

pogulyat_vyshel в сообщении #1379263 писал(а):

постоянный вектор $\boldsymbol B\ne 0$

Во времени? В однородном $\mathbf B$ частица дрейфует вдоль $\mathbf E$. Если поле $B$ неоднородное, то имеется дрейф поперёк $\nabla B$. Возможно найдётся такая конструкция полей, что эти дрейфы друг друга скомпенсируют.

[scwec]

Есть также Сборник задач по классической механике Г.Л. Коткин, В.Г.Сербо.
Судя по классификации траекторий из задачи 2.33, центр притяжения может лежать на траектории (рис.97д из сборника задач), но вне области ограниченной траекторией - нет.

[pogulyat_vyshel]

scwec в сообщении #1379382 писал(а):

Судя по классификации траекторий из задачи 2.33, центр притяжения может лежать на траектории (рис.97д из сборника задач), но вне области ограниченной траекторией - нет.

Естественно, там ни чего не доказывается. Вы вспомните, мы, ведь, уже подобный вопрос обсуждали в связи с волчком Лагранжа, и решение нетривиально. А тут, судя по всему, ситуация еще сложнее. Неужели вы думаете, что в каком-то там Коткие Сербо такая задача может быть решена? Можно и для сферического маятника такой вопрос ставить, у Голубева это сделано. Какой-то общий факт должен иметь место о несуществовании торов с вырожденным специальным образом набором частот.

[scwec]

Предупреждать надо о серьезности намерений.
А так нужны подходящие обстоятельства и соответствующий настрой.
Будем думать.

[lel0lel]

Напишу некоторые соображения о возможности-невозможности замкнутых траекторий. Используем обозначение:

$$\langle f(r)\rangle=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}f(r(t))dt,$$

здесь $T$ -- период радиальных колебаний. Если $\langle \dot{\varphi}\rangle=0$, тогда траектория будет замкнутой. Это требование можно записать в виде $\langle 1/r^2\rangle =1/r_0^2$. Применим операцию усреднения к радиальному уравнению движения. Так как $\langle\ddot{r}\rangle=0$, то получим

$$\left\langle\frac{1}{r^2}\right\rangle=\frac{B^2}{4m\gamma}\left(r_0^4\left\langle\frac{1}{r^3}\right\rangle-\langle r\rangle\right).$$

Если выражение в круглых скобках положительное, то выбором параметров задачи ($B, m, \gamma$) можно попытаться обеспечить замкнутость траектории. Выражение в круглых скобках зависит от начальных параметров $r_0, v_0$ и от $B, m, \gamma$. Возможно, что нужно рассмотреть гармоническое движение частицы в окрестности минимума $\operatorname{U}_{eff}(r)$. Только вот минимум не слишком красивый.

Картинка в пункте (в) из

scwec в сообщении #1379382 писал(а):

Сборник задач по классической механике Г.Л. Коткин, В.Г.Сербо.

иллюстрирует траекторию для некоторого набора параметров, а если эти параметры пошевелить, то кто его знает.

P.S. Заметил сейчас, что средние в круглых скобках также зависят от $B, m, \gamma$.