Заяц и черепаха

[SomePupil]

Черепаха и заяц решили устроить соревнование по бегу. Договорились, что черепаха дает зайцу (зайцу!) фору в целое число метров (заяц, например, может решить стартовать с расстояния $10$ метров перед черепахой). Далее гонка идет таким образом: заяц расписывает свой текущий отрыв по степеням двойки (например, $2^3+2$). При этом показатели степеней тоже расписываются по степеням двойки, так что указанный пример в окончательном виде запишется как $2^{(2+1)}+2$. Заяц бежит что есть духу, пока его отрыв от первоначального положения черепахи не достигает значения указанного выражения, в котором все двойки заменены на тройки: $3^{(3+1)}+3.$ За это время черепаха проползает расстояние в один метр и сокращает дистанцию между собой и зайцем до $3^{(3+1)}+2=83.$ Далее подобным же образом заяц в выражении для нового отрыва заменяет все тройки на четверки, а черепаха все так же проползает один метр. Новый отрыв зайца после этого составит $4^{(4+1)}+1=1025.$

Это продолжается неограниченно долго: заяц всегда пишет его текущий отрыв по степеням очередного натурального числа, увеличивая на единицу каждый раз все встречающиеся в выражении отрыва текущие натуральные числа, как описано выше, а черепаха все так же продвигается на один метр.

Кто победит в этой гонке? Всегда ли это одно и то же животное?

[dedaded]

Теорема Гудстейна? Красиво.

[SomePupil]

dedaded в сообщении #1379354 писал(а):

Теорема Гудстейна?

Оказывается, это даже оформлено в виде отдельной теоремы. Задачка получилась больше на эрудицию, значит.

Собственно доказательство меня самого поразило, честно говоря (не ожидал встретить ординалы в детской задачке): надо взять первоначальный отрыв и, вместо того, чтобы заменять двойки на тройки, тройки на четверки и т.д., надо сразу заменить их ординалом $\omega.$ Движения зайца не меняют "ординального" расстояния, а вот черепаха, чертяка, уменьшает ее на единицу. Заяц проиграет, потому что ординалы не могут неограниченно уменьшаться)