2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Размножение и статистика
Сообщение27.02.2019, 04:46 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Привожу свое решение, со всеми подробностями.

Пусть $N$ есть общее число семей. Из них $N/3$ относятся к каждому из типов $A$, $B$ и $C$ соответственно.

Будем считать, что семьи каждого из типов образуются (и исчезают) с постоянной скоростью, скажем $v_A$ семей типа $A$ в единицу времени. Заметим, что семьи типа $A$, существующие в момент времени $t$ --- это в точности те, которые возникли в промежутке $[t-3, t]$. Следовательно, $v_A(t-(t-3))=N/3$, $3v_A=N/3$, $v_A=N/9$. Точно так же $v_B=v_C=N/9$. Будем обозначать $v_A=v_B=v_C=N/9$ дальше просто через $v$.

Пусть $n_{A,1}$ --- число семей типа $A$, родивших первого ребенка в промежуток времени $[t, t+dt]$. Аналогичным образом определим числа $n_{A,2}, \ldots, n_{C,3}$. Отметим, что $n_{A,2}=n_{A,3}=n_{B,3}=0$.

То, что семья типа $A$ родила ребенка в промежуток $[t, t+dt]$, означает, что она образовалась в промежуток времени $[t-1/3, t-1/3+dt]$. Таких семей $v\,dt$. Итак, $n_{A,1}=v\,dt$. Аналогично $n_{B,1}=\ldots=n_{C,3}=v\,dt$.

Семьи, родившие ребенкав промежутке $[t, t+dt]$, доход которых находится в диапазоне $I=[0.5, 1.5]$ --- это в точности семьи, родившие первого ребенка. Их число есть $n_I=n_{A,1}+n_{B,1}+n_{C,1}= 3v\,dt=(N/3)\,dt$. Аналогично, число семей, родивших ребенка в этом промежутке времени, доход которых находится в диапазоне $II=(1.5, 2.5]$ --- это $n_{II}=n_{B,2}+n_{C,2}=2v\,dt=(2/9)N\,dt$. Наконец, семей, родивщих ребенка и находящихся в диапазоне $III=(2.5, 3.5]$, есть $n_{III}=v\,dt=(N/9)\,dt$.

Теперь фиксируем какой-то момент времени $u$ и найдем число семей, которые в этот момент находятся по доходу в одном из диапазонов $I$, $II$, $III$. Обозначим соответствующие числа $M_I$, $M_{II}$, $M_{III}$. Ясно, что
$$ M_I=M_{I,A}+M_{I,B}+M_{I,C}\,, \qquad M_{II}=M_{II,A}+M_{II,B}+M_{II,C}\,,$$
$$ M_{III}=M_{III,A}+M_{III,B}+M_{III,C}. $$
Здесь $M_{I,A}$ есть число семей, принадлежащих к типу $A$, доход которых лежит в $I$, и т.д.

Ясно, что $M_{I,A}=N/3$, $M_{II,A}=M_{III,A}=M_{III,B}=0$. Семья типа $B$ имеет доход в диапазоне $I$ в том случае, если она образовалась в промежутке $[u-1/3, u]$. Таких семей есть $(1/3)v=N/27$. Аналогично $M_{I,C}=M_{II,C}=N/27$. Отсюда $M_{II,B}=N/3-M_{I,B}=N/3-N/27=(8/27)N$, а также $M_{III,C}=N/3-M_{I,C}-M_{II,C}=N/3-2\cdot N/27=(7/27)N$.
Складывая, находим $M_I=N/3+N/27+N/27=(11/27)N$, $M_{II}=(8/27)N+N/27=N/3$, $M_{III}=(7/27)N$.

Вероятность $p_1$, о которой говорится в условии --- это $n_I/M_I=(N/3)\,dt/(11/27)N=(9/11)\,dt$.
Также $p_2=n_{II}/M_{II}=(2/9)N\,dt/(N/3)=(2/3)dt$, $p_3=n_{III}/M_{III}=(N/9)\,dt/(7/27)N=(3/7)dt$.

Значит, $p_1 : p_2 : p_3= 9/11 : 2/3 : 3/7 =3/11 : 2/9 : 1/7 = 189 : 154 : 99$.

-- 27.02.2019, 04:06 --

Заметим, ответ такой же, как у Geen. Коллега EUgeneUS не туда посчитал единичку (что называется, дело житейское :-) ): надо $23$ заменить на $22$, а $17$ на $18$, и получится то же самое. В общем, вычисление произведено и проверено. Спасибо участвовавшим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размножение и статистика
Сообщение27.02.2019, 06:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
EUgeneUS в сообщении #1378493 писал(а):
Если мы будем выбрать случайно детей, а потом смотреть, какой доход был у родителей (1, 2 или 3) на момент рождения, то будет такое отношение вероятностей.

Да, я представлял себе что-то типа опроса в роддоме

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group