Вероятность ошибки

[asyrov]

Есть две случайные переменные, $X$ и $Y$, которые принимают значения от $0$ до $1$ (распределение не указано). Извесно, что их математические ожидания находятся на расстоянии $\varepsilon>0$ так, что $\bar{Y}-\bar{X}=\varepsilon$. Необходимо оценить верхнюю границу вероятности, что выборочное среднее из $n$ елементов $\hat{X}$ будет больше чем выборочное среднее $n$ елементов $\hat{Y}$. На первом шаге решения (верного), утверждается:

$$P(\hat{X}>\hat{Y}) \le P([\hat{X}>\bar{X} + \frac{\varepsilon}{2}] \cup [\hat{Y}<\bar{Y} - \frac{\varepsilon}{2}])$$

Помогите понять логику, как это получили.

[StaticZero]

$$ \begin{tikzpicture} \draw [->, thick] (-2,0)--(5,0); \draw (0,0) node[below] {$\bar X$}; \draw (3,0) node[below] {$\bar Y$}; \draw (0,0.05)--(0,-0.05); \draw (3,0.05)--(3,-0.05); \draw (1.5,0.1)--(1.5,-0.1); \draw (1.5,0) node[below] {$\bar X + \varepsilon/2$}; \draw [ultra thick, red] (1.5,0.03)--(5,0.03); \draw [ultra thick, green] (-2,-0.03)--(1.5,-0.03); \draw (0,0) to[out=60,in=120] (3,0) node[pos=0.5, above]{$\varepsilon$}; \end{tikzpicture} $$

Красное --- событие $\hat X - \bar X > \frac{\varepsilon}{2}$, зелёное --- событие $\hat Y - \bar Y < - \frac{\varepsilon}{2}$.

$$ \begin{tikzpicture} \draw [->, thick] (-2,0)--(5,0); \draw (0,0) node[below] {$\bar X$}; \draw (3,0) node[below] {$\bar Y$}; \draw (0,0.05)--(0,-0.05); \draw (3,0.05)--(3,-0.05); \draw (1.5,0.1)--(1.5,-0.1); \draw [ultra thick, red] (1.5,0.03)--(5,0.03); \draw [ultra thick, green] (-2,-0.03)--(1.5,-0.03); \draw (0,0) to[out=60,in=120] (3,0) node[pos=0.5, above]{$\varepsilon$}; \fill (1.9,0) circle (2pt) node[below] {$\hat X$}; \fill (0.8,0) circle (2pt) node[below] {$\hat Y$}; \end{tikzpicture} $$

[asyrov]

это не очень убедительно. $\hat{X}$ и $\hat{Y}$ могут быт быть в любых зонах.

[--mS--]

asyrov в сообщении #1378581 писал(а):

это не очень убедительно. $\hat{X}$ и $\hat{Y}$ могут быт быть в любых зонах.

Например, $\hat Y$ в красной, а $\hat X$ - в зелёной?

[asyrov]

Оба в зеленом, например, но $\hat{X}$ дальше чем $\hat{Y}$.

[asyrov]

Понял: Для того чтобы произошла ошибка, как минимум одно из выборочных средних должно сдвинуться от своего математического ожидания больше чем на $\frac{\varepsilon}{2}$, на встречу другому. И то тогда это действительно верхняя граница, мы говорим "или один или другой (или оба)". Большое спасибо.