Инвариант

[arseniiv]

bayah
Я предположил, что берётся множество $A$ некоторых множеств, $f(a)$ тогда будет мощностью $a\in A$ (и нет никакого противоречия между тем, что $a$ — множество и тем, что $a$ — элемент $A$), ну и т. д..

Ещё вы кнопки цитирования не от тех постов нажали.

[bayah]

arseniiv в сообщении #1377991 писал(а):

(если множество рассматриваем всего одно, но большое, биекций из него в себя много, а интересующее отображение только одно, и если рассматривается только $n$ двухэлементных равномощных множеств, биекций между ними будет $2n^2$ (по $2!$ из каждого в каждое), а тех отображений $n^n$; добавление в рассмотрение новых множеств примерно прибавляет биекции, но примерно умножает число отображений, переводящих равномощные в равномощные)

Что-то тут я вообще не понял.
Одно интересующее отображение это в смысле $f$? А биекции тогда тут причем?
А $n$ двухэлементных равномощных множеств это что и откуда? И почему $2n^2$, а не $2n!$ ?

-- 24.02.2019, 16:00 --

arseniiv в сообщении #1378048 писал(а):

Ещё вы кнопки цитирования не от тех постов нажали.

Да, блин, уже не первый раз лажаю чето.)

-- 24.02.2019, 16:04 --

arseniiv
Ладно, если безотноситльно этого определения на Википедии, как определяется инвариант вообще в общем смысле?

[arseniiv]

bayah в сообщении #1378050 писал(а):

Одно интересующее отображение это в смысле $f$?

Не, $g$.

bayah в сообщении #1378050 писал(а):

А $n$ двухэлементных равномощных множеств это что и откуда? И почему $2n^2$, а не $2n!$ ?

Ну мы же рассматриваем не все множества, а только какую-то их совокупность, множество $A$. Если допустить, что оно состоит из нескольких двухэлементных, получатся такие числа.

bayah в сообщении #1378050 писал(а):

Ладно, если безотноситльно этого определения на Википедии, как определяется инвариант вообще в общем смысле?

Сам я это никогда не формализовал для общего случая. Конечно, можно попытаться…

[bayah]

arseniiv
Вообще изначально я пытался понять что есть изометрия из групп симметрий. Определение опять же с википедии:

Цитата:

Группа симметрии (также группа симметрий) некоторого объекта (многогранника или множества точек из метрического пространства) ― группа всех движений, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции.

Например, возьмем группу симметрий правильного треугольника.
Пусть $A$ - множество точек на плоскости образующих какой-то правильный треугольник.
Тогда $G$ состоит из таких $g$ - изометрия из $A$ в $A$.
Инвариант тут получается само множество $A$ относительно отображения множества отображений $G$.
Тогда что тут $f$ снова не ясно.

[mihaild]

С общим определением тут есть проблема: мы часто рассматриваем группу, действующую на некотором множестве, а характеристики берем не отдельных элементов этого множества, а чего-то более сложного. Например, у нас есть евклидово пространство $\mathbb R^2$; есть группа всех его биекций в себя, у нее есть подгруппа изометрий - биекций, сохраняющих расстояние. При этом биекция пространства в себя естественным образом задает биекцию множества $\mathbb R^2 \times \mathbb R^2$ пар точек в себя, соответственно подгруппа изометрий $\mathbb R^2$ некоторую подгруппу группы всех биекций пространства пар точек в себя. На пространстве пар точек у нас есть функция расстояние, и она инвариантна относительно получившейся подгруппы.
Еще можно рассмотреть множество (упорядоченных) троек, на нем ввести функцию "угол", и обнаружить, что она тоже инвариантна относительно соответствующей группы.
Но при этом изначальное пространство, на котором действуют изометрии, область определения расстояния и область определения угла - это три разных функции.

Хотя для группы симметрий как раз всё хорошо: нужно в качестве $f$ взять функцию "индикатор нашего объекта". Только естественно брать не всю подгруппу, относительно которой эта функция инвариантна, а ее фактор по подгруппе, оставляющей точки нашего объекта на месте.

Вообще я бы сказал, что это тот случай, когда есть куча "примерно одинаковых" понятий, называемых одним словом, которые "всем" понятно, как формализовывать в каждом конкретном случае, но дать общую формализацию сложно (и "никому" не нужно).
Если всё же пытаться - то, видимо, надо рассматривать разные структуры из элементов исходного множества (например, пары, или подмножества, или еще что-то), требовать, чтобы структуры из этого множества переходили в другие структуры из него же, и рассматривать функции на них. Наверное можно дописать, но получится длинное и довольно бесполезное определение.

[Someone]

bayah в сообщении #1378063 писал(а):

Инвариант тут получается само множество $A$ относительно отображения множества отображений $G$.
Тогда что тут $f$ снова не ясно.

Инвариантом при изометриях является не множество $A$, а метрика. Я уже начал писать это сообщение, и во время написания появилось сообщение mihaild. То, что я пишу — это та самая формализация, о которой говорит mihaild.

Пусть $\rho$ — метрика на $A$, то есть, отображение $\rho\colon A\times A\to\mathbb R$, удовлетворяющее аксиомам метрики:
1) $\rho(x,y)\geqslant 0$; $\rho(x,y)=0$ тогда и только тогда, когда $x=y$;
2) $\rho(x,y)=\rho(y,x)$;
3) $\rho(x,y)+\rho(y,z)\geqslant\rho(x,z)$.
Множество с заданной метрикой называется метрическим пространством (часто используется обозначение вида $(A,\rho)$, но обычно экономят и метрику указывают только один раз).

Отображение $g\colon A\xrightarrow{\text{на}}A$ называется изометрией, если для любых $x,y\in A$ выполняется равенство $\rho(gx,gy)=\rho(x,y)$.
Вообще, изометрия определяется для более общей ситуации. Пусть имеются два метрических пространства $(A,\rho)$ и $(B,d)$. Изометрией метрических пространств $A$ и $B$ называется отображение $g\colon A\xrightarrow{\text{на}}B$, удовлетворяющее условию $d(gx,gy)=\rho(x,y)$ для всех $x,y\in A$. Часто также рассматриваются изометрии $A$ не на всё $B$, а на его подмножества.
Группу относительно суперпозиции образуют только изометрии метрического пространства на себя.

Здесь мы также неявно встречаемся с конструкцией, которая называется произведением отображений. Произведение определяется для произвольного множества отображений, мы ограничимся двумя: произведением отображений $f\colon A\to B$ и $g\colon C\to D$ называется отображение $f\times g\colon A\times C\to B\times D$, определяемое формулой $f\times g(x,y)=(fx,gy)$ для всех $(x,y)\in A\times C$.

Если теперь сравнить определение изометрии с определением инварианта, то видим, что метрика является инвариантом не изометрии $g\colon A\to B$, а её "квадрата" $^2g=g\times g\colon A\times A\to B\times B$.

[alcoholist]

Someone в сообщении #1378094 писал(а):

Изометрией метрических пространств $A$ и $B$ называется отображение $g\colon A\xrightarrow{\text{на}}B$, удовлетворяющее условию $d(gx,gy)=\rho(x,y)$ для всех $x,y\in A$.

Зачем этот огород городить? Есть же просто понятие изометричного(ческого) отображения $f\colon A\to B$, т.е. отображения, для которого $|xy|_A=|f(x)f(y)|_B$.

-- Вс фев 24, 2019 16:08:02 --

Любое изометрическое отображение пространства в себя является биекцией.
Метрика инвариантна относительно некоторой группы преобразований множества, если каждое из преобразований является изометрическим отображением.

Только я не понял, при чем здесь попытки википедии дать общее определение инварианта...

[Someone]

alcoholist в сообщении #1378106 писал(а):

Зачем этот огород городить? Есть же просто понятие изометричного(ческого) отображения $f\colon A\to B$, т.е. отображения, для которого $|xy|_A=|f(x)f(y)|_B$.

Чем это отличается от того, что я написал, кроме обозначений? Или Вы имеете в виду линейные пространства со скалярным произведением?

alcoholist в сообщении #1378106 писал(а):

Любое изометрическое отображение пространства в себя является биекцией.

Э-э-э… Биекцией на подмножество? Я ведь не случайно в определении писал "$\xrightarrow{\text{на}}$".

[alcoholist]

Someone в сообщении #1378109 писал(а):

Э-э-э… Биекцией на подмножество?

Буквально биекцией

-- Вс фев 24, 2019 16:29:24 --

то есть если $f\colon A\to A$ -- изометрическое, то оно и биективно

-- Вс фев 24, 2019 16:41:05 --

Говоря про "огород", я имел ввиду претензию чисто методическую.
Обычно сначала определяют изометрическое изображение (как сохраняющее расстояние), а потом изометричность пространств (пространства изометричны, если существует биекция, являющаяся изометрическим отображением).
А предложенное вами

Someone в сообщении #1378094 писал(а):

Изометрией метрических пространств $A$ и $B$ называется отображение $g\colon A\xrightarrow{\text{на}}B$, удовлетворяющее условию $d(gx,gy)=\rho(x,y)$ для всех $x,y\in A$.

можно дать как простое упражнение, что биекцию в определении можно заменить сюрьекцией.

[mihaild]

alcoholist в сообщении #1378110 писал(а):

то есть если $f\colon A\to A$ -- изометрическое, то оно и биективно

Это же неправда. Возьмите сдвиг луча хотя бы.

[alcoholist]

mihaild в сообщении #1378120 писал(а):

Это же неправда

да, неправда... что-то я упустил)