Инвариант

[bayah]

Помогите прояснить понятие инварианта.

Вот на Википедии пишут так:

Цитата:

Пусть $A$ — множество и $G$ — множество отображений из $A$ в $A$. Отображение $f$ из множества $A$ в множество $B$ называется инвариантом для $G$, если для любых $a \in A$ и $g \in G$ выполняется тождество $f(a)=f(g(a))$.

И дальше приводятся примеры:

Цитата:

Мощность множества является инвариантом относительно биекций.

Так вот согласно определению инварианта получается, что $G$ - это множество этих биекций $g$ относительно которых $f$ - инвариант?
Ну допустим у нас есть $A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$.
Пусть $g$, такая биекция, что $g(a_1) = a_2, g(a_2) = a_2, \dots, g(a_n) = a_1$. Пусть $f(a_1) = b_1$, тогда должно выполняться, что $f(a_1) = f(g(a_1)) = f(a_2) = b1, f(a_2) = f(g(a_2)) = f(a_3) = b1, \dots, f(a_n) = f(g(a_n)) = f(a_1) = b1$.
То есть $f$ отображает все элементы множества $A$ в один и то же элемент множества $B$? Какой в этом смысл? При чем тут мощность множества? Что я не так понимаю?

[demolishka]

По представленному определению инвариант --- это отображение $f$. Поэтому фраза "мощность множества является инвариантом" значит, что отображение $f$ определяется как "мощность множества", а не то, что Вы там задали. "Относительно биекций" означает, что группа $G$ это множество всех биекций. Осталось разобраться, какие тут множества имеются в виду , т. е. что есть $A$ и что есть $B$.

[mihaild]

По-моему в википедии написано что-то странное. Рассмотрим множество $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$. На нем есть функция "мощность множества" и единственная нетривиальная биекция. Но мощность не инвариантна относительно этой биекции...

Чтобы было правильно, нужно чтобы функции из $G$ переводили элементы из $A$ в равномощные им. Но причем тут биекция - я совершенно не понимаю.

Первый пример из статьи (площадь треугольника относительно изометрий) кстати тоже ничуть не лучше: изометрии действуют на одном множестве, а площадь треугольника - на другом.

[demolishka]

mihaild в сообщении #1377971 писал(а):

По-моему в википедии написано что-то странное

Это тот случай, когда хочется дать определение, но лучше не давать. Все равно получится известное: "Мощность множества --- это то общее, что есть у равномощных множеств" .

[mihaild]

Ну если поверить в аксиому выбора, то кардинальные числа можно вполне разумно описать. Правда функции, определенной на всех множествах, от этого всё равно не появится:)

[bayah]

demolishka в сообщении #1377968 писал(а):

Осталось разобраться, какие тут множества имеются в виду , т. е. что есть $A$ и что есть $B$.

Так, ну раз $f$ - это мощность, то $B$ - видимо множество натуральных чисел, например (для непустого конечного множества мощность которого измеряется). Тогда $a$ - должно быть множество, а $A$ - множество множеств. Так что ли? Тогда что есть $g(a)$?

[mihaild]

А $G$ - это некоторое отображение из $A$ в себя, такое что каждый элемент переходит в равномощный себе. Где здесь биекции - ведомо только автору статьи в википедии.

[bayah]

mihaild в сообщении #1377980 писал(а):

Рассмотрим множество $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$. На нем есть функция "мощность множества"

А как на множестве может быть задана функция мощности этого множества? Функция же принимает элементы множества, и как при этом элемент сопоставить с можностью множества из которого этот элемент?

mihaild в сообщении #1377971 писал(а):

Рассмотрим множество $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$. На нем есть функция "мощность множества" и единственная нетривиальная биекция. Но мощность не инвариантна относительно этой биекции...

А почему мощность не инвариантна относительно биекции в таком множестве?

[mihaild]

bayah в сообщении #1377985 писал(а):

Функция же принимает элементы множества, и как при этом элемент сопоставить с можностью множества из которого этот элемент?

Функция берет элемент и выдает мощность этого элемента.

[arseniiv]

bayah, если предлагать, чтобы $f$ была мощностью и всё было как в том определении, $G$ должно состоять не из биекций элементов, а из отображений, переводящих каждый элемент в равномощный ему — и они как не обязательно биективные по отношению к универсальному множеству, так в общем случае их количество и не связано с количеством биекций (если множество рассматриваем всего одно, но большое, биекций из него в себя много, а интересующее отображение только одно, и если рассматривается только $n$ двухэлементных равномощных множеств, биекций между ними будет $2n^2$ (по $2!$ из каждого в каждое), а тех отображений $n^n$; добавление в рассмотрение новых множеств примерно прибавляет биекции, но примерно умножает число отображений, переводящих равномощные в равномощные ← UPD: от этого комментария отказываюсь, он какой-то невнятный и при придании точности получается слабым или неверным). Так что тот пример с тем текстом не согласованы.

[bayah]

arseniiv в сообщении #1377991 писал(а):

Функция берет элемент и выдает мощность этого элемента.

bayah в сообщении #1378042 писал(а):

bayah, если предлагать, чтобы $f$ была мощностью и всё было как в том определении, $G$ должно состоять не из биекций элементов, а из отображений, переводящих каждый элемент в равномощный ему

Что значит мощность элемента? Есть мощность множества. Есть мощность множества, состоящего из одного элемента, но не мощность элемента.

[Otta]

bayah
Вы в чем хотите разобраться - что такое инвариант или что такое мощность? :)

[bayah]

Otta в сообщении #1378043 писал(а):

Вы в чем хотите разобраться - что такое инвариант или что такое мощность? :)

Ну изначально в примере, который приведен, потом в инварианте, теперь видимо и в мощности уже)

[Otta]

bayah в сообщении #1378044 писал(а):

Ну изначально в примере, который приведен, потом в инварианте, теперь видимо и в мощности уже)

А можно пояснить, что это за пример и каково его происхождение? Пример (две шт.) вижу, пояснений к нему - нет, ссылки ни одной. (

[bayah]

Otta в сообщении #1378045 писал(а):

А можно пояснить, что это за пример и каково его происхождение? Пример (две шт.) вижу, пояснений к нему - нет, ссылки ни одной. (

Ну вот в моем первом сообщении. Понятие инварианта и один из примеров. Все это с Википедии.