Исследование функции двух переменных

[PeterSam]

Здравствуйте! Необходимо исследовать функцию $z=x^2-3y^2-xy-2x-y$ на экстремум и выпуклость.

Я нашёл первые частные производные, приравнял их к нулю, составил систему уравнений, решил её и получил в итоге одну стационарную точку для этой функции - точку $K(\frac{11}{13} ; - \frac{4}{13})$.

Затем я исследовал эту точку, найдя вторые производные и составив матрицу Гессе. Она получилось у меня вот такой:
$\begin{pmatrix} 2 -1\\ -1 -6 \end{pmatrix}$.

Определитель этой матрицы равен $-13$. Поскольку он меньше нуля, я сделал вывод о том, что глобального экстремума у этой функции нет.

Но что делать дальше - не пойму. Преподаватель просит сделать обоснованный вывод также о локальных экстремумах (ведь они, вообще говоря, могут быть и при отсутствии глобальных экстремумов). Советует обратить внимание на положительную (или отрицательную) определённость матрицы Гессе. По этому поводу я нашёл критерий Сильвестра, согласно которому матрица является неотрицательно определённой тогда и только тогда, когда все её главные миноры неотрицательны. Согласно этому критерию, один из угловых миноров моей матрицы положительный, второй - отрицательный. Значит, эта матрица не является неотрицательно определённой. Тогда выходит, что локального экстремума нет?


А как исследовать эту функцию на выпуклость?

[mihaild]

PeterSam в сообщении #1377923 писал(а):

Значит, эта матрица не является неотрицательно определённой

Еще нужно проверить на неположительную определенность.

PeterSam в сообщении #1377923 писал(а):

Тогда выходит, что локального экстремума нет?

А каким утверждением вы тут пользуетесь?
(на самом деле можно даже не смотреть на вторые производные, а воспользоваться очевидным фактом, что локальный максимум / минимум является локальным максимумом / минимумом по каждой переменной)

PeterSam в сообщении #1377923 писал(а):

А как исследовать эту функцию на выпуклость?

Начать с определения выпуклой функции. И, например, вспомнить какие-нибудь свойства ее экстремумов.

[PeterSam]

mihaild в сообщении #1377929 писал(а):

А каким утверждением вы тут пользуетесь?

Вот этим.
Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема в точке $x_{0}$, вектор первых частных производных этой функции в точке $x_{0}$ есть нулевой вектор, а матрица вторых частных производных (матрица Гессе) этой функции в точке $x_{0}$ положительно определена. Тогда $x_{0}$ - строго локальное решение задачи $f(x) \to min $.

mihaild в сообщении #1377929 писал(а):

Еще нужно проверить на неположительную определенность.

Нашёл такое утверждение. Для того, чтобы матрица Гессе была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, начиная с минуса. В нашем случае они чередуются, но начиная с плюса. Значит, матрица не является отрицательно определённой.

Выходит, что матрица Гессе в этом случае знакопеременная (неопределённая).

mihaild в сообщении #1377929 писал(а):

Начать с определения выпуклой функции.

Нашёл соответствующий критерий (для выпуклости вверх, выпуклости вниз, строгой выпуклости вверх и строгой выпуклости вниз). Для каждого из этих четырёх случаев определитель матрицы Гессе должен быть либо неотрицательным, либо положительным. У нас определитель матрицы Гесса строго меньше нуля. Значит, получается, что эта функция не обладает свойством выпуклости и строгой выпуклости.

[teleglaz]

PeterSam в сообщении #1377935 писал(а):

Выходит, что матрица Гессе в этом случае знакопеременная (неопределённая).

Не выходит. Выходит, что матрица Гессе не является отрицательно определённой.

PeterSam в сообщении #1377935 писал(а):

Нашёл соответствующий критерий (для выпуклости вверх, выпуклости вниз, строгой выпуклости вверх и строгой выпуклости вниз). Для каждого из этих четырёх случаев определитель матрицы Гессе должен быть

А приведите-ка его, на всякий случай. А то меня терзают смутные сомнения...

PeterSam в сообщении #1377923 писал(а):

По этому поводу я нашёл критерий Сильвестра, согласно которому матрица является неотрицательно определённой тогда и только тогда, когда все её главные миноры неотрицательны. Согласно этому критерию, один из угловых миноров моей матрицы положительный, второй - отрицательный.

Вообще, критерий Сильвестра - это про определённость матрицы, а не про полуопределённость. Но написано верно. Однако не стоит путать главные миноры с угловыми. Это не одно и то же.

PeterSam в сообщении #1377923 писал(а):

Поскольку он меньше нуля, я сделал вывод о том, что глобального экстремума у этой функции нет.

Это может работать для функции двух переменных. Вообще говоря, утверждение неверное.

По существу вопроса.
1. Поинтересуйтесь, как формулируется достаточное условие экстремума. Как формулируется необходимое условие второго порядка. При невыполнении достаточного условия неплохо бы проверить необходимое условие второго порядка. Вот если оно не выполняется, тогда экстремума нет.
2. Если матрица Гессе положительно полуопределена, то функция выпукла. Если матрица Гессе положительно определена, то функция строго выпукла. Следовательно, нужно уметь находить знакоопределённость матрицы. Это можно сделать с помощью критерия Сильвестра (он всё же формулируется для угловых миноров) и с помощью главных миноров. В случае второго порядка это также несложно сделать, найдя собственные значения и посмотрев на их знаки.