Дифференцируемость функции

[tom_soier]

Всем привет, прошу помощи:

1) Если $f(x)$ $\subset\mathbb{R}$ имеет первообразную $F(x)+C$ , можно ли утверждать, что \lim\limits_{x \to {x_0}}{\frac{d(F(x)+C)}{dx}} = \lim\limits_{x \to {x_0}}{f(x)} ?

2) Верно ли, что функция, имеющая точку разрыва второго рода, не имеет первообразной (на том же интервале, разумеется)?

Вопросы пошли из простой задачи:

Показать что $f(x) =\begin{equation*} \begin{cases} \cos(\frac{1}{x}), {x \ne 0} \\ -\frac{1}{2}, x = 0 \end{cases} \end{equation*} $ не имеет первообразной.

Собственно первообразная должна была бы быть дифференцируемой в каждой точке интервала, но левый и правый предел в $x_0 = 0$ не существуют, хотя функция определена.

[mihaild]

Тут проще начинать с дифференцируемой функции - она будет первообразной для своей производной - и смотреть, как может быть устроена производная.

[Dan B-Yallay]

tom_soier в сообщении #1377105 писал(а):

можно ли утверждать, что $\lim\limits_{x \to {x_0}}{\frac{d(F(x)+C)}{dx}} = \lim\limits_{x \to {x_0}}{f(x)} $?

Объясните также, что из себя представляет и каким образом находится предел, написанный слева.

[Padawan]

tom_soier в сообщении #1377105 писал(а):

2) Верно ли, что функция, имеющая точку разрыва второго рода, не имеет первообразной (на том же интервале, разумеется)?

Не верно. Всё наоборот. Функция, имеющая разрыв первого рода, не может иметь первообразной.

tom_soier в сообщении #1377105 писал(а):

Показать что

$$f(x)=\begin{cases} \cos(\frac{1}{x}), {x \ne 0} \\ -\frac{1}{2}, x = 0 \end{cases} $$

не имеет первообразной.

Интересная задача. Тут считать надо. Если нигде не ошибся, то в точке $0$ должно быть $f(0)=0$, тогда первообразная будет. А тут $-\frac 12$. Первообразная, как и положено - интеграл с переменным верхним пределом.