Матрицы над полем вычетов по модулю 2

[situs]

Подскажите, пожалуйста, если я работаю с матрицами над полем $\mathbb{Z}_2$, нужно ли специально оговаривать (прописывать) элементарные преобразования и дополнительные преобразования не меняющие ранг таких матриц? То есть требуется ли их указать точно - перечислить их?

[Slav-27]

situs в сообщении #1377037 писал(а):

нужно ли специально оговаривать (прописывать) элементарные преобразования и дополнительные преобразования не меняющие ранг таких матриц?

Я, например, не знаю, что такое "элементарные преобразования" и "дополнительные преобразования". Если вы пишете какой-то текст и хотите, чтобы вас понимали, то, думаю, надо написать, что это такое, или хотя бы сослаться на место, где это написано.

[situs]

Slav-27
Спасибо. Думаю Вы правы.
Правильно я понимаю, что элементарные и дополнительные преобразования могут отличаться у матриц определенных над разными полями?

[Someone]

situs в сообщении #1377039 писал(а):

Slav-27
Спасибо. Думаю Вы правы.

Если как Вы пишете, Slav-27 прав, то второй ваш вопрос

situs в сообщении #1377039 писал(а):

Правильно я понимаю, что элементарные и дополнительные преобразования могут отличаться у матриц определенных над разными полями?

такой же невразумительный, как и первый.

[Munin]

https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_matrix

Цитата:

In mathematics, an elementary matrix is a matrix which differs from the identity matrix by one single elementary row operation. The elementary matrices generate the general linear group of invertible matrices. Left multiplication (pre-multiplication) by an elementary matrix represents elementary row operations, while right multiplication (post-multiplication) represents elementary column operations.

Отсюда видно, что задать элементарные преобразования - то же самое, что задать полную линейную группу $\mathrm{GL}(n,F),$ где $n$ - размер матрицы, а $F$ - подлежащее поле.

Ответ на вопрос темы: хорошо известно, что группы $\mathrm{GL}(n,F)$ для разных полей разные.

[vpb]

Slav-27 в сообщении #1377038 писал(а):

не знаю, что такое "элементарные преобразования"

Ох.

Munin в сообщении #1377047 писал(а):

Отсюда видно, что задать элементарные преобразования - то же самое, что задать полную линейную группу $\mathrm{GL}(n,F),$ где $n$ - размер матрицы, а $F$ - подлежащее поле.

Ответ на вопрос темы: хорошо известно, что группы $\mathrm{GL}(n,F)$ для разных полей разные.

Ох-ох.

situs
См. книгу Кострикина, т.1, гл.1, параграф 3, п. 2, 3; гл.2, пар.2, п.2 ("Ранг матрицы"); и в полной общности та же глава, пар.3, п.6 "Классы эквивалентных матриц". Элементарные преобразования над строками бывают трех типов: 1) перестановка двух строк, 2) прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число, 3) умножение строки на ненулевое число. Это, конечно, общее определение. Объяснять в каком-то тексте, что такое элементарные преобразования, не надо (если это не текст учебного характера, который преподаватель пишет для студентов). Специфика поля из двух элементов в том, что в нем единственный ненулевой элемент --- это $1$, поэтому преобразований третьего типа нет (точнее, они тривиальны).

А что такое "дополнительные преобразования" ? (вопрос к ТС).

[situs]

vpb в сообщении #1377170 писал(а):

А что такое "дополнительные преобразования" ? (вопрос к ТС).

Это удаление нулевой строки и столбца. Такое преобразование также не изменяет ранг матрицы. Спасибо.

[vpb]

situs
Вообще-то не знаю, может, и стоит напомнить читателю, что такое элементарные преобразования. Я же не знаю точно, что за текст Вы пишете. Это по ситуации надо всегда смотреть, что напоминать, а что известным считать. Напомнить всегда безопаснее, во всяком случае.

[Munin]

vpb
По другим темам я так воспринимал, что ТС не пишет что-то, а решает задачи как студент.

[vpb]

Munin в сообщении #1377223 писал(а):

По другим темам я так воспринимал, что ТС не пишет что-то, а решает задачи как студент.

Может быть. Я не знаю, какова его ситуация в точности. Может быть, курсовую пишет или вроде того.