pakandrew писал(а):
Извините за off-top
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
но,
как доказать следующий факт
![Embarassed :oops:](./images/smilies/icon_redface.gif)
:
Если сумма всех делителей числа
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
равна
![$2N-1$ $2N-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/2/a4226bb2e373db1332602f95c13ad7d582.png)
,то
![$N=k^2$ $N=k^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/f/a3f01ae63e7712a7561f369cb735402282.png)
,где
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
-нечетно или
![$N=2^s$ $N=2^s$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/c/94c859d4cc9ee9272358e368b002283882.png)
Рассмотрим случай
![$ k $ $ k $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/1/0513e5ea3aca37742a6d9d75796a34c982.png)
- нечетное.
Если представить число
![$ N = k^2 = p_1^2p_2^2...p_n^2 $ $ N = k^2 = p_1^2p_2^2...p_n^2 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/5/b1594969b2a842d8a189aa511bc1195082.png)
, где
![$ p_i $ $ p_i $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/3/bb37c913fd9ae95b1136b1d471a4d5a382.png)
- простые делители числа
![$ k $ $ k $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/1/0513e5ea3aca37742a6d9d75796a34c982.png)
,
то существует число
![$ M = (p_1^2+p_1+1)(p_2^2+p_2+1)...(p_n^2+p_n+1) $ $ M = (p_1^2+p_1+1)(p_2^2+p_2+1)...(p_n^2+p_n+1) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/c/61cd3672652e72815dc64467911c629c82.png)
, (1)
равное сумме числа
![$ N $ $ N $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/9/5e9c7a7d16b15ab5b947bedf5f56bd7982.png)
и всех его делителей,
т.е.
![$ M = N + (2N-1) = 3N - 1 $ $ M = N + (2N-1) = 3N - 1 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/c/bfc237d168c81e7bdc3f7b66f7d915c482.png)
(2)
Если
![$ N $ $ N $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/9/5e9c7a7d16b15ab5b947bedf5f56bd7982.png)
- нечетное, то получаем противоречие,
т.к. в выражении (1)
![$ M $ $ M $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/9/2f9aa7288ba4ce360cf5a17caef9c92982.png)
- нечетное, а в выражении (2)
![$ M $ $ M $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/9/2f9aa7288ba4ce360cf5a17caef9c92982.png)
- четное.
Следовательно, в данном случае решений нет.
Хотя, возникла одна загвоздка.
Руст писал(а):
Это не верно. возьмите
![$N=2$ $N=2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/4/224e6819744eb493dfcc2829e9ab013e82.png)
, сумма делителей
![$3=2*2-1$ $3=2*2-1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/8/18815a9e5945eaebfea58c1f0722138582.png)
.
Мы само число
![$ N $ $ N $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/9/5e9c7a7d16b15ab5b947bedf5f56bd7982.png)
считаем за делитель или нет?
Если, как у совершенных чисел, само число не считается делителем, то мои выкладки верны, если же считать делителем, то надо бы еще подумать.