Лагранжевы координаты

[Sicker]

Помогите переписать уравнение

$$\frac{\partial \rho }{\partial t} +\frac{\partial ( \rho v)} {\partial x}=0,$$

где $\rho$ это плотность , а $v=v(\rho)$ скорость при данной плотности, и $v'(\rho) <0$ (естественно) из эйлеровых координат в лагранжевы, как например это можно сделать с уравнением газодинамики.
Мои попытки - введем ячейки с массами $dm$ и координатами $x_{i-1}, x_i$, правый конец которых имеет скорость $v_i$, а левый $v_{i-1}$
Уравнения будут такие
Для скорости
$v_i=v(\frac{dm}{dx_i})$, где $dx=x_i-x_{i-1}$
А плотность будет определяться $\rho=\frac{dm}{dx_i}$
Если скорость $v_i$ привязывать к концу ячейки $x_i$, то имеем волны возмущений, распространяющиеся в положительном направлении оси $x$, т.к. локальное изменение объема ячейки скажется только на изменении "передней скорости", а на заднюю это изменение никак подействовать не может. Но, если мы привяжем $v_i$ к противоположному концу ячейки $x_{i-1}$, то скорость распространения возмущений поменяет свое направление.
Где тут затык? Вроде это уравнение инвариантно относительно смены направления оси $x$, а значит скорость $v_i$ можно привязывать к любому концу.
Вот например для уравнения газовой динамики такой проблемы не возникает, ибо там изменение скорости $v_i$ зависит от давлений в полуцелых точках $p_{i-0.5}$ и $p_{i+0.5}$. (и тут возникает другой вопрос, можно ли все эти давления и скорости сдвинуть относительно друг друга? Ведь в близких ячейках и изменения небольшие)

[pogulyat_vyshel]

Про ур неразрывности в лагранжевых координатах см Седов мсс том1

[Sicker]

pogulyat_vyshel в сообщении #1375775 писал(а):

Про ур неразрывности в лагранжевых координатах см Седов мсс том1

Спасибо, посмотрю. А там рассматривается именно это уравнение? Или просто уравнение газодинамики, где скорость изменяется из-за разницы давлений, там как раз все понятно.
Я правильно расписал схему лагранжа?
И возмущения распространяются в положительную сторону, да? Просто если например задавать скорости в полуцелых точках, то возмущения будут распространяться в обе стороны.
Как быть, куда распространяются возмущения?

-- 13.02.2019, 15:37 --

Посмотрел Уизема "Линейные и нелинейные волны" - там направление распространения зависит от вида $v(\rho)$, хотя в моей схеме оно всегда одно и то же.
Где ошибка?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1375789 писал(а):

Я правильно расписал схему лагранжа?

Естественно, что в лагранжевых координатах

$$\frac{\partial \rho }{\partial t} + \rho \frac{\partial v(\rho )} {\partial x}$$

распространение всегда будет назад. Но назад по отношению к кому? Не к наблюдателю сидящему на обочине, а к водителю машины.

[Sicker]

Red_Herring
А почему назад? Покажите. Нет я в принципе могу поставить скорость к началу ячейки, но чем это обосновано? Тем более, когда производная по плотности больше нуля, то распространение будет вперед. А ведь лагранжева схема будет одна и та же.

-- 13.02.2019, 17:50 --

Red_Herring
Да, я везде имею ввиду по отношению к машине

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1375822 писал(а):

Red_Herring
А почему назад? Покажите. Нет я в принципе могу поставить скорость к началу ячейки, но чем это обосновано? Тем более, когда производная по плотности больше нуля, то распространение будет вперед. А ведь лагранжева схема будет одна и та же.

Я не знаю "схем" или "ячеек" (и знать не хочу). Но "Эйлерово" уравнение расписывается как

$$ \Bigr[\frac{\partial }{\partial t}+v \frac{\partial }{\partial x}\Bigr]\rho + v' (\rho) \rho \frac{\partial \rho}{\partial x}=0 $$

и при переходе в Лагранжевы координаты квадратная скобка заменяется на $\frac{\partial }{\partial t}$ (читайте нормальный учебник, а не мусор со схемами и ячейками) и т.к. $v'<0$ мы заключаем что в Лагранжевых координатах скорость otricatel-na.

Еще проще: скорость распространения в Эйлеровых координатах $c(\rho)$, а скорость машины $v(\rho)$, Значит скорость по отношению к машине будет $c(\rho)-v(\rho)$

[Geen]

Red_Herring в сообщении #1375828 писал(а):

Но "Эйлерово" уравнение расписывается как

А можно в ещё "более ковариантном" виде (неоднородное)?

[Red_Herring]

Geen в сообщении #1375848 писал(а):

А можно в ещё "более ковариантном" виде (неоднородное)?

Какой ковариантный вид Вам нужен в 1мерном случае? И какая неоднородность? Дороги или с истоками/стоками?

[Geen]

Red_Herring в сообщении #1375855 писал(а):

Какой ковариантный вид Вам нужен в 1мерном случае?

Я имел ввиду $n$-мерный случай, конечно. И нестатическую метрику.

Red_Herring в сообщении #1375855 писал(а):

И какая неоднородность? Дороги или с истоками/стоками?

Стоки/истоки.

[pogulyat_vyshel]

Geen в сообщении #1375859 писал(а):

нестатическую метрику.

а что это такое?

[Geen]

pogulyat_vyshel в сообщении #1375860 писал(а):

Geen в сообщении #1375859 писал(а):

нестатическую метрику.

а что это такое?

Например, вращающаяся система координат. Или те же Лагранжевы/сопутствующие координаты.

[pogulyat_vyshel]

От времени можно избавиться стандартным трюком $\dot x=v,\quad \dot t=1$

[pogulyat_vyshel]

Метрика тут кстати вообще ни при чем

[Guvertod]

Geen
О какой метрике речь? Обычная 3-мерная евклидовая, записанная в лагранжевых координатах или вы хотите релятивистски?

[Geen]

pogulyat_vyshel в сообщении #1375896 писал(а):

Метрика тут кстати вообще ни при чем

А если ковариантную произодную использовать?

-- 14.02.2019, 01:02 --

Guvertod в сообщении #1375901 писал(а):

или вы хотите релятивистски?

Возможно с непрерывностью и волновым уравнением это было бы проще, но с уравнением диффузии я подзавис...

-- 14.02.2019, 01:03 --

И прошу у всех прощения, захватывать тему не имел намерения.