2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Альтернатива МНК и MAD
Сообщение10.02.2019, 19:41 
Аватара пользователя


14/02/12

841
Лорд Амбера
Коллеги, столкнулся с такой вещью. Есть временной ряд, который аппроксимируется моделью с конструктивной валидностью. Варианты МНК или MAD, но на некоторых функциях прекрсно работает метод нулевой суммы отклонений, т.е. подыскиваются параметры, с которыми сумма отклонений вверх равна сумме отклонений вниз.
Сознаю, что метод дикий и никак обоснован быть не может, скажем если временной ряд линейная зависимость, то условию нулевой суммы отклонений удовлетворяет любая проходящая через центр ряда прямая, с любым углом между двумя отрезками, исключая может быть 90 градусов.
Но на реальных зависимостях (у меня в основном обратные экспоненты с наложенными случайными отклонениями, которые не факт что распределены нормально, т.е. приближение к какой-то асимптоте на протяжении 2-5 постоянных времени) работает прекрасно, если хорошее нулевое приближение, хотя бы по МНК. Этот метод чуть подправляет параметры по МНК, тот же Эксель в Поиске решения. Никакого множества решений, и решение быстро находится итерациями, никакого разноса.
Интуитивно для меня достоинство то, что к концу ряда все погрешности накапливаются и сводятся к 0 по определению, иногда это важно.
Существует ли нечто подобное, и обосновывается ли оно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Альтернатива МНК и MAD
Сообщение13.02.2019, 10:19 
Аватара пользователя


14/02/12

841
Лорд Амбера
Выше случайно оговорился, при линейной зависимости годилась бы любая прямая, кроме вертикальной.
Здесь пример реальной завсисимости с 3 аппроксимациями экспонентой, с 0-суммой отклонений, МНК и MAD. Близки МНК и MAD, 0-сумма отклоняется от них. Выше и асимптота и постоянная времени. Но: если в частном случае, как здесь, отклонения считаются не случайными отклонениями по Гауссу, и тогда только МНК, а какими-то отклонениями в энергии физиологического процесса, и при неучтожимости энергии она может только накапливаться или где-то заимствоваваться и переходить по времени на другие дни.
Тогда не правильней ли будет при аппроксимации следить за нулевой суммой к концу достаточно длинного процесса? Имеет ли право такой метод быть, хотя основная проблема - устойчивость решения, пример неустойчивого приводился - линейная зависимость.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Альтернатива МНК и MAD
Сообщение13.02.2019, 13:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Честно говоря, по этому графику мне более адекватной кажется МНК приближение, и МАО тоже лучше "сумманулевой". Отклонения в правой части явно велики, и перекрывают отклонения в середине. Ну и хотелось бы мне видеть модель. Не понимаю, где экспонента спряталась. Смахивает на степенную $y=ax^\alpha$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Альтернатива МНК и MAD
Сообщение13.02.2019, 15:07 
Аватара пользователя


14/02/12

841
Лорд Амбера
Евгений Машеров в сообщении #1375757 писал(а):
Честно говоря, по этому графику мне более адекватной кажется МНК приближение, и МАО тоже лучше "сумманулевой". Отклонения в правой части явно велики, и перекрывают отклонения в середине. Ну и хотелось бы мне видеть модель. Не понимаю, где экспонента спряталась. Смахивает на степенную $y=ax^\alpha$.

Все 3 графика обратные экспоненты,
МНК асимптота 7,28 постоянная времени 16,82
MAD асимптота 7,19 постоянная времени 16,37
0-сумма здесь асимптота 8,90 постоянная времени 25,16. Хотя возможны множественные решения, но в ряде случаев получается семейство с зависимостью асимптоты от пост. времени, и по другим соображениям и другому семейству на пересечении находится ответ, что-то вроде сист. 2 уравн. с 2 неизв.

 Профиль  
                  
 
 Re: Альтернатива МНК и MAD
Сообщение13.02.2019, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Дело в том, что, если асимптота - оцениваемый параметр, то на нулевую сумму отклонений выходим при любом выборе прочих параметров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Альтернатива МНК и MAD
Сообщение13.02.2019, 18:19 
Аватара пользователя


14/02/12

841
Лорд Амбера
Евгений Машеров в сообщении #1375813 писал(а):
Дело в том, что, если асимптота - оцениваемый параметр, то на нулевую сумму отклонений выходим при любом выборе прочих параметров.

Я не совсем понял насчет прочих параметров, при задании асимптоты (а не оценке) находится всего 1 параметр - пост. времени, но и здесь есть ограничения. По приведенным данным при асимптоте<4,84 решения не существует, а при 4,84 экспонента вырождается в скачок, т.е. экспонента с пост. времени 0.
Да, решений много, но я в начале писал, что нужно хорошее нулевое приближение, то же решение по МНК, и тогда зависимость подстраивается под сумму-0, что иногда из физиологии адекватнее.
Благодарю за помощь, помогло доскональнее разобраться.
Возможно, существует еще и иной вариант - из множества решений, когда в семействе решений есть зависимость асимптоты от пост. времени, выбрать именно то, где еще и среднее кв. откл. будет минимально - но с МНК это совпадать не будет, при МНК дисперсия меньше, а сумма отклонений 0 не равна.
Хотя и для практики при 30-40 измерениях вряд ли это значимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Альтернатива МНК и MAD
Сообщение14.02.2019, 12:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Ну вот модель $y_t=A(1-e^{bt})$
Для определённости примем, что $t=0...n$.
Тогда при произвольном выборе b для того, чтобы сумма отклонений была равна нулю, надо, чтобы $\Sigma y_t=\Sum A(1-e^{bt})=A(n+1-\frac {1-e^{b(t+1)}} {1-e^b})$
откуда $A=\frac {\Sigma y_t}{n+1-\frac {1-e^{b(t+1)}} {1-e^b}}$
Иначе говоря, оценить b в такой модели невозможно. Любое значение годится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Альтернатива МНК и MAD
Сообщение14.02.2019, 12:23 
Аватара пользователя


14/02/12

841
Лорд Амбера
Евгений Машеров в сообщении #1375961 писал(а):
Иначе говоря, оценить b в такой модели невозможно. Любое значение годится.

Да, я в теме, спасибо. Речь может идти только о выявлении семейства зависимостей, которое при других исходных данных (т.е. по другому семейству) может дать на пересечении решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group