Производная под интегралом

[Парджеттер]

Добрый день.

Имею такой вопрос.

Есть функция (неизвестная) $p(x)$ и есть такой интеграл

$$\int{\frac{\frac{dp}{dx} dp}{e^{-Cp}}}$$

где С - константа.

Можно ли что-то сделать с ним в плане взятия или упрощения?

[Gafield]

Зачем, интересно, экспонента в знаменателе, чтоб никто не догадался?

Уже для $C=0$ ответ через $p$ выражаться не будет. Рассмотрев для этого случая функции $p(x)=x^a$, получим, что ответ равен $N_a p^{c_a}$. Изменяя $a$ можно получать разные показатели $c_a$. Я думаю, аналогичное утверждение справедливо для любого $C$.

Интегрирование по частям дает

$$-C^{-1}\int e^{Cp}\, dp'$$

, если это чем-нибудь поможет.

[antbez]

Цитата:

Уже для ответ через выражаться не будет.

Разве? Я записал для этого случая формулу интегрирования по частям. Разве p куда-то уходит?!

[Gafield]

Цитата:

Разве? Я записал для этого случая формулу интегрирования по частям. Разве p куда-то уходит?!

В смысле, уходит? Речь шла о том, что первообразная не выражается как функция от $p$.

[ddn]

Парджеттер писал(а):

Есть функция (неизвестная) $p(x)$ и есть такой интеграл

$$\int{\frac{\frac{dp}{dx}dp}{e^{-Cp}}}$$

где С - константа.

Интеграл равен $\int{\frac{\frac{dp}{dx}(p)dp}{e^{-Cp}}}=\int{\frac{e^{Cp}dp}{(\frac{dx(p)}{dp})}}$ или $\int{e^{Cp(x)}(\frac{dp(x)}{dx})^2dx}$.
Если $C\not=0$, делаем замену $p(x)=a\ln(q(x))$, где $a\not=0$, тогда
$\int{\frac{e^{Cp}dp}{(\frac{dx(p)}{dp})}}=a^2\int{\frac{q^{aC-2}dq}{(\frac{dx(a\ln(q))}{dq})}}=a^2\int{\frac{q^{aC-2}dq}{\frac{d\tilde x(q)}{dq}}}$ или $a^2\int{q(\tilde x)^{aC-2}(\frac{dq(\tilde x)}{d\tilde x})^2d\tilde x}$.
Взяв $a=\frac{2}{C}\not=0$, получим $(\frac{2}{C})^2\int{\frac{dq}{(\frac{d\tilde x(q)}{dq})}}$ или $(\frac{2}{C})^2\int{(\frac{dq(\tilde x)}{d\tilde x})^2d\tilde x}$.
Больше, в общем случае, сделать ничего нельзя!

Gafield писал(а):

Уже для $C=0$ ответ через $p$ выражаться не будет. Рассмотрев для этого случая функции $p(x)=x^a$, получим, что ответ равен $N_a p^{c_a}$. Изменяя $a$ можно получать разные показатели $c_a$.

Если $p(x)=bx^a$ (где $b>0$), то
при $C=0$ получим (отбрасывая произвольную констату):
$\int{(\frac{dp(x)}{dx})^2dx}=(ab)^2\int{x^{2(a-1)}dx}= \left\{\begin{array}{ccc}\frac{(ab)^2}{2a-1}x^{2a-1}, & a\not=\frac{1}{2}\wedge a\not=0\\\frac{b^2}{4}\ln(x), & a=\frac{1}{2}\\0, & a=0\end{array} =\left\{\begin{array}{ccc}\frac{a^2\sqrt[a]b}{2a-1}p^{2-\frac{1}{a}}, & a\not=\frac{1}{2}\wedge a\not=0\\\frac{b^2}{8}\ln(\frac{p}{b}), & a=\frac{1}{2}\\0, & a=0\end{array}$
то есть $N_a=\frac{a^2\sqrt[a]b}{2a-1}\not\in[0,\frac{\ln(b)^2e^{\ln(b)+1-\sqrt{\ln^2(b)+1}}}{2(\sqrt{\ln(b)^2+1}-1)})$ и $c_a=2-\frac{1}{a}\not\in\{0,2\}$ при $a\not=\frac{1}{2}\wedge a\not=0$.


а при $C\not=0$, делаем замену $p(x)=bx^a=\frac{2}{C}\ln(q(x))$, откуда $q(x)=e^{\frac{bC}{2}x^a}$ или $\tilde x(q)=\sqrt[a]{\frac{2}{bC}\ln(q)}$, тогда получим $\frac{dq(\tilde x)}{d\tilde x}=\frac{abC}{2}\tilde x^{a-1}e^{\frac{bC}{2}\tilde x^a}$ или $\frac{d\tilde x(q)}{dq}=\frac{\sqrt[a]{\frac{2}{bC}}}{a\ln^{\frac{a-1}{a}}(q)}$, а интеграл будет $(\frac{2}{C})^2\int{(\frac{dq(\tilde x)}{d\tilde x})^2d\tilde x}=(ab)^2\int{\tilde x^{2(a-1)}e^{bC\tilde x^a}d\tilde x}$ или $(\frac{2}{C})^2\int{\frac{dq}{(\frac{d\tilde x(q)}{dq})}}=a(\frac{2}{C})^{2-\frac{1}{a}}\sqrt[a]{b}\int{\ln^{\frac{a-1}{a}}(q)dq}$ - явно неудобоваримая форма.
Тогда вернемся к $p$: при $a=0$ получим $p(x)=b$ и $\frac{dp(x)}{dx}=0$ - тогда интеграл $\int{\frac{dp}{dx}(p)e^{Cp}dp}}=0$, а при $a\not=0$ получим $x(p)=\sqrt[a]{\frac{p}{b}}$ и $\frac{dx(p)}{dp}=\frac{1}{a\sqrt[a]{b}p^{\frac{a-1}{a}}}$, а интеграл будет $\int{\frac{e^{Cp}}{(\frac{dx(p)}{dp})}dp}=a\sqrt[a]{b}\int{p^{\frac{a-1}{a}}e^{Cp}dp}$ - поддается интегрированию лишь при неотрицательном целом $\frac{a-1}{a}\not=1$, то есть лишь при $a=-\frac{1}{n-1}=1,-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}..$

Gafield писал(а):

Я думаю, аналогичное утверждение справедливо для любого $C$.

Как видите справедливость утверждения для любого $C\not=0$ зависит не от $C$, а от $a$, которое должно быть:
$a=1,0,-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}..$.

[Gafield]

В каких-то частных случаях, конечно, интеграл возьмется. Но смысл в том, что формулы для разных $p$ будут разные. Поэтому, если конкретный вид функции $p$ неизвестен, то единый ответ выписать нельзя, поскольку уже для степенных функций есть несколько вариантов. А если она не степенная, то ни один из них, вообще говоря, не подойдет.

[Парджеттер]

Огромное Вам всем спасибо!
Взялись Вы за тему, что называется, от души!

Тут такое дело, что именно общий случай, т.е. $p$ - совсем неизвестная функция. Это у меня в уравнении член такой получился. Ну теперь понятно, что ничего не сделаешь. Благодарю еще раз.