Минимизация выражения

[Lia]

Sicker
Замечание за бессодержательное сообщение. Это не чат.

[DeBill]

Sicker в сообщении #1371840 писал(а):

Дать еще подсказку?

Да не, не надо...
И так же все ясно. Ну, например, для функции $f(x) = e^{-x^2}$: минимум равен, понятно, $e^{-T^2}$ (все - нули, а одно - большое...)

-- 03.02.2019, 23:52 --

Ну, а если серьёзно, то:
Если функция $\varphi = \ln f$ выпуклая вниз (а это как раз задачи а) и б)), то исходная задача -это просто неравенство Йенсена (для фи): аргументы равными надо брать. Если - выпукла вверх - то минимум будет как раз на краю. А если ни то, ни сё - то и будет непонятно что ( зависит от $T$ )....
А увидеть все это довольно легко (после логарифмирования) - составляя функцию Лагранжа: там все сразу и получается, вместе со всеми проблемами.

[DeBill]

Упс: оказывается, $n$ не фиксировано...
Да пофигу: если $f$ логарифмически выпукла (то бишь, ее логарифм выпуклый) вверх, минимум все равно будет при $n=1$.
А вот если - вниз, то дело зависит от того, какова функция $g(x)= \frac{\ln f(x)}{x}$:
если $x_0$ - ее точка минимума на отрезке $[0,T]$, то $n$ надо брать равным $\frac{T}{x_0}$ (почти).
А если выпуклости нет, то все равно будут непонятки....

[arqady]

В общем случае это совсем непонятно. Если у lnf одна точка перегиба, то сочетанием Йенсена с Караматой это убивается.
Имеется ещё EV Method Василе Кыртоажэ для такого типа задач, но это работает только если на функцию lnf наложить очень специальные условия.

[ozheredov]

(Оффтоп)

DeBill в сообщении #1373919 писал(а):

неравенство Йенсена

Вроде бы неравенство Йенсена это просто определение выпуклости, нет?

[jekyl]

(Оффтоп)

ozheredov в сообщении #1374366 писал(а):

Вроде бы неравенство Йенсена это просто определение выпуклости, нет?

Почти. Если выпуклое множество определить, как множество, которое вместе с набором точек содержит их выпуклую комбинацию, то да. Отсюда следует, что содержит и отрезок соединяющий любые две точки. В обратную сторону, по индукции легко доказать.
Но обычно, множество называют выпуклым, если с любыми двумя точками содержит и отрезок, соединяющий их.

[ozheredov]

(Оффтоп)

jekylЯ имел в виду выпуклость функции

[jekyl]

(Оффтоп)

ozheredov в сообщении #1374396 писал(а):

Я имел в виду выпуклость функции

Это без разницы.

Ну а выполнение неравенства Йенсена в качестве определения выпуклой функции это уже сильно, на мой взгляд.
Для непрерывной на $(a,b)$ функции достаточно потребовать, чтобы выполнялось неравенство $f((x+y)/2)\leqslant f(x)/2+f(y)/2$, $x,y\in(a,b)$. Тоже по индукции можно доказать.
По моему, можно даже оставить ограниченность на множестве положительной меры Лебега.

[novichok2018]

Можно так: при большом числе среднее геометрическое примерно равно среднему арифметическому, поэтому вместо произведения перейдём к суммам, а тогда задача решается элементарными методами.

[DeBill]

novichok2018 в сообщении #1374602 писал(а):

Можно так: при большом числе среднее геометрическое примерно равно среднему арифметическому

Так - не надо, ибо неверно это.

novichok2018 в сообщении #1374602 писал(а):

поэтому вместо произведения перейдём к суммам

К суммам можно перейти - как и говорилось выше - логарифмированием.

novichok2018 в сообщении #1374602 писал(а):

тогда задача решается элементарными методами.

Тогда - нет, не решается - без существенных ограничений на функцию, об чем и говорилось двумями...