Функциональный анализ, гомеоморфизмы

[bubu gaga]

Вопрос возник про гомеоморфизм. По определению отображение $f : \; X \mapsto Y$ является гомеоморфизмом если оно взаимно однозначно и взаимно (sic) непрерывно.

Для точки $x_0$ берём шар $B(x_0, \epsilon)$ и отображаем её на $Y$. Так вот что меня смущает, если шар вокруг $x_0$ есть открытое множество, отображение наше непрерывно и однозначно, то как может образ шара $f \bigl( B(x_0, \epsilon) \bigr)$ не содержать открытых подмножеств? Есть какой-нибудь пример?

Потому что если бы образ этот был открытым, то можно было бы выбрать в нём шар $B_1(y_0, \delta) \subset f \bigl( B(x_0, \epsilon) \bigr)$. И для этого шара $f^{-1}\bigl(B_1(y_0, \delta)\bigr) \subset B(x_0, \epsilon)$. Что означало бы, что для каждого $\epsilon$ мы можем найти $\delta$. А это значило бы, что непрерывность $f^{-1}$ следует из непрерывности и взаимной однозначности $f$.

Спасибо.

[ewert]

Понятие гомеоморфизма определено для произвольных топологических пространств, Вы же рассматриваете лишь метрические. Но даже для метрических (более того, даже для нормированных) пространств непрерывность обратного не гарантирована.

Вот простой контрпример. Пусть $X=C[0;1]$ -- пространство непрерывных функций и $L$ -- оператор интегрирования в смысле:

$$v=Lu\ \Longleftrightarrow\ v(x)=\int_0^xu(t)\,dt$$

.
Этот оператор взаимно-однозначно отображает $X$ на $Y=C_0^1[0;1]$ -- пространство непрерывно дифференцируемых функций с нулевыми значениями в нуле. Если теперь снабдить оба пространства стандартной равномерной нормой: $\Vert u\Vert=\mathop{\max}\limits_{x\in[0;1]}|u(x)|$, то оператор $L$ окажется непрерывным, а вот обратный (собственно, оператор дифференцирования ${d\over dx}$) -- отнюдь.

[nestoklon]

bubu gaga, мне кажется, вы в своём рассуждении неявно пользуетесь полнотой пространства. Видимо, здесь:

Цитата:

если шар вокруг $x_0$ есть открытое множество, отображение наше непрерывно и однозначно, то как может образ шара $f \bigl( B(x_0, \delta) \bigr)$ не содержать открытых подмножеств?

Взаимная однозначность не гарантирует того, что в пространстве не будет "дырок". А если они будут, с непрерывностью могут быть проблемы.
ЗЫ Кстати, я не до конца уверен, будет ли ваше рассуждение проходить даже для полных пространств. Чисто "на интуиции" кажется, что нужно ещё какое-то ограничение на отображение -- типа ограниченности.

[Gafield]

Простой пример: $f$ отображает полуинтервал $[0,2\pi)$ на единичную окружность (угловая координата $\varphi=x$). Тогда $f$ взаимно-однозначно и непрерывно (близкие точки переходят в близкие), а обратное нет.

[bubu gaga]

Не затруднит проверить?

Возьмём функцию $u_0(t)$ и её интеграл $v_0(t)$.

Цель найти такую окрестность $u_0$, чтобы для каждой функции $u$ в этой окресности для интеграла $v = Lu$ выполнялось

$$ \max_{t \in [0, 1]} \bigl| v - v_0 \bigr| \; < \; \epsilon $$

Берём окрестность функции $u_0$ с радиусом $\delta$. Для каждого $t \in [0, 1]$ верно

$$ \max_{t \in [0, 1]} \bigl| u - u_0 \bigr| \; < \; \delta $$

$$ u_0(t) - \delta \; < \; u(t) < u_0(t) + \delta $$

Интегрируя каждую часть последенего неравенства (а можем ли мы это делать?) получаем

$$ v_0(t) - \delta \, t \; < \; v(t) \; < \; v_0(t) + \delta \, t $$

а так как $t \in [0, 1] $ то приравнивая $\delta = \epsilon$ получаем

$$ v_0(t) - \epsilon \; < \; v(t) \; < \; v_0(t) + \epsilon $$

Прерывность оператора дифференцирования. Берём функцию $v_0$ и в каждой окрестности радиуса $\delta$ и строим следующую функцию в её окрестности

$$ v_1(t) \; = \; v_0(t) \, + \, \frac{\delta}{2} \, \sin \frac{\pi \, t}{\delta}$$

Дифференцируя получаем функцию

$$ u_1(t) \; = \; u_0(t) \; + \; \frac{1}{2} \, \sin \pi \, t $$

$$ \max_{t \in [0, 1]} \bigl| u_1 - u_0 \bigr| \; \ge \; \frac{1}{2} $

Добавлено спустя 48 секунд:

Gafield писал(а):

Простой пример

А я как раз целый опус насочинял

[id]

bubu gaga
Не совсем понятно, к чему именно вопрос.

Следует ли из непрерывности и взаимооднозначности отображения его гомеоморфность? Нет, не следует. Если совсем просто - можно рассмотреть каноническое отображение дискретного пространства в антидискретное.

К тому же, наличие открытых подмножеств и открытость - разные вещи.

[ewert]

bubu gaga писал(а):

А я как раз целый опус насочинял

, причём чересчур длинный. Для линейного оператора непрерывность равносильна ограниченности. Оператор интегрирования тривиальным образом ограничен:

$$\mathop{\max}\limits_x\left\vert\int_0^xu(t)\,dt\right\vert\leqslant(1-0)\cdot\mathop{\max}\limits_t|u(t)|$$

.
Оператор дифференцирования не менее тривиально неограничен: если $u(x)=\sin nx$, то $\left\Vert u\right\Vert\equiv1$, в то время как $\left\Vert{d\over dx} u\right\Vert=n\to\infty$.

[bubu gaga]

ewert писал(а):

причём чересчур длинный

Это потому что в Колмогорове операторы появляются с четвёртой главы, я ещё только во второй.

Но я думаю, я разобрался. Спасибо за помощь!