Интерпретация в логике и множества.

[ignat.fugasov]

Заранее прошу прощения относительно строгости рассуждений, не так долго учу логику. В теориях первого порядка для интерпретации требуются множества: там используются функции, операции и отношения. Но, если не использовать наивные множества, то нужны, как я понимаю, объекты, из модели какой-нибудь аксиоматической теории множеств. В этой новой модели опять участвуют множества, так как предикатному знаку содержательно играющему роль "принадлежать" ставится в соответствие новое отношение, то есть множество. И опять нам нужна модель аксиоматической теории... Собственно где я ошибаюсь и как правильно сделать интерпретацию?

[Someone]

ignat.fugasov в сообщении #1373150 писал(а):

из модели какой-нибудь аксиоматической теории множеств

Не "из модели", а просто "из". Мы всегда рассуждаем о множествах, не имея в виду никакую конкретную модель и опираясь только на аксиомы, поскольку логические выводы не зависят от модели.

[ignat.fugasov]

Someone в сообщении #1373171 писал(а):

Не "из модели", а просто "из". Мы всегда рассуждаем о множествах, не имея в виду никакую конкретную модель и опираясь только на аксиомы, поскольку логические выводы не зависят от модели.

Разве тогда мы не возьмем просто некоторую последовательность символов? Нужно же множество, которое описывает нужное в интерпретации отношение.

[Someone]

ignat.fugasov в сообщении #1373177 писал(а):

Разве тогда мы не возьмем просто некоторую последовательность символов?

А формальная теория работает исключительно с последовательностями символов. Просто некоторые из них являются именами множеств (термами), некоторые — их определениями и т.д.

[george66]

Тут платонический подход. Предполагается, что "существует" (в небесном Иерусалиме) некая совокупность объектов ("множеств"), о которых мы знаем не всё, но кое-что знаем, эти знания записаны в виде аксиом ZF. Дальше мы можем рассуждать о множествах, выводя следствия из аксиом. Когда мы говорим про интерпретации формальных теорий, предполагается, что сами множества уже "даны", как кирпичи и палки.

-- 31.01.2019, 23:58 --

Совершенно так же мы рассуждаем о "действительных числах", хотя выписать их все никак не можем.

[yafkin]

Someone в сообщении #1373182 писал(а):

А формальная теория работает исключительно с последовательностями символов. Просто некоторые из них являются именами множеств (термами), некоторые — их определениями и т.д.

Можно ли это считать определением понятия "терм" ?

[mihaild]

yafkin в сообщении #1373326 писал(а):

Можно ли это считать определением понятия "терм" ?

Нет конечно. Определение терма не использует никаких моделей. Он определяется рекурсивно: переменная и константный символ - терм, из функционального символа и термов можно получать новые термы.

Если у нас есть какая-то теория множеств - то мы можем в этой теории записывать формулы вида "множество $X$ является моделью теории $T$" (для этого нужно чтобы можно было каким-то способом средствами теории множеств описать синтаксис нашего исчисления и саму теорию $T$).

[george66]

Термы - это имена объектов. В теории множеств обычно термов немного (переменные для множеств), но иногда разрешается использовать выражения вида
$\{x\mid\varphi(x)\}$
они тоже термы.

[ignat.fugasov]

Someone
Спасибо за пояснение. Отхожу немного от темы. Конечно следовало бы изучить теорию множеств для начала, но всё же. В зависимости от того какие аксиомы я выбираю, меняются и возможности интерпретации. То есть, если в теории нельзя образовывать множества, содержащие себя, я не могу интерпретировать предикатную букву и константу, как одно и то же отношение, если оно находится с собой в этом же отношении(понятно что из условия это не отношение). То есть невозможно задать интерпретацию в которой предикатная буква $A$ и константа $a$ - отношения " не быть вилкой ". Не ошибся ли я где?
Всё же A(a) хотелось бы видеть истинной (мотивация не математическая). Рассуждать про аксиому регулярности мне рановато.

[mihaild]

И даже без аксиомы регулярности не можете. Когда вы интерпретируете саму теорию множеств, все её константные символы (в том числе обозначающие какие-то внутренние отношения) интерпретируются в конкретные элементы модели. А предикатные интерпретируются в множества элементов моделей.
Т.е. если у вас скажем есть отношение "быть пустым множеством", и модель теории множеств с носителем $X = \{x_0, x_1, \ldots\}$, где $x_0$ обозначает пустое множество, а $x_1$ обозначает множество $\{\varnothing\}$, то соответствующий константный символ интерпретируется в $x_1$, а предикатный символ - в множество $\{x_0\}$. Заметьте, что вообще говоря элементы $X$ не обязаны быть как-то "внутренне" связаны друг с другом. Зато у нас есть (в той же теории, где мы строим модель) множество $\in$, которому, в частности, принадлежит пара $\langle x_0, x_1\rangle$.

[ignat.fugasov]

mihaild
Я не хочу интерпретировать теорию множеств, хотя бы исчисление предикатов(но кажется это не важно). Про множества заходит разговор из-за мысли, что от теории меняется возможность интерпретации.
Не вижу почему из вами сказанного следует невозможность описанного в предыдущем сообщении способа интерпретации. (Про ваш пример) Если носитель содержит и $\varnothing$, и $\{\varnothing\}$, то поставим в соответствие $\{\varnothing\}$ предикатному символу, как подмножеству носителя, а константе как элементу носителя. Тут и возникает возможность спросить, пренадлежит ли множество самому себе, то есть истинна ли формула составленная из такого предикатного знака и такой константы.

[Someone]

ignat.fugasov в сообщении #1373956 писал(а):

Если носитель содержит и $\varnothing$, и $\{\varnothing\}$, то поставим в соответствие $\{\varnothing\}$ предикатному символу, как подмножеству носителя, а константе как элементу носителя. Тут и возникает возможность спросить, пренадлежит ли множество самому себе, то есть истинна ли формула составленная из такого предикатного знака и такой константы.

Я не понял, каким образом из первого предложения следует второе. В этом примере нет множества, принадлежащего самому себе.

[yafkin]

george66 в сообщении #1373396 писал(а):

Термы - это имена объектов. В теории множеств обычно термов немного (переменные для множеств), но иногда разрешается использовать выражения вида
$\{x\mid\varphi(x)\}$
они тоже термы.

В теории множеств нет ничего кроме множеств.
С термами вроде бы понятно. А операции над множествами-это тоже множества? Мы используем какое-то алгебраическое выражение (своего рода терм) и получаем в результате новое множество, обозначаемое этим термом,
-так?

[mihaild]

ignat.fugasov в сообщении #1373956 писал(а):

Я не хочу интерпретировать теорию множеств, хотя бы исчисление предикатов

А что такое интерпретация исчисления предикатов? Я знаю (в этом контексте) только про интерпретации теорий в этом исчислении.

ignat.fugasov в сообщении #1373956 писал(а):

то есть истинна ли формула составленная из такого предикатного знака и такой константы

Это вообще не формула. $\in$ - предикатный символ, в него можно подставлять только термы, но не предикатные выражения.

yafkin в сообщении #1374060 писал(а):

В теории множеств нет ничего кроме множеств.

Непонятно, что это значит. Теория множеств - это набор правил, по которым можно писать и выводить формулы.

[ignat.fugasov]

Someone в сообщении #1374030 писал(а):

Я не понял, каким образом из первого предложения следует второе. В этом примере нет множества, принадлежащего самому себе.

Я не говорил, что $\{\varnothing\}\in\{\varnothing\}$. Задачей было показать, что от вопроса принадлежности множества самому себе может зависеть истинность некоторой формулы. К другому примеру. носитель $X$ содержит элементы $x_0,x_1,x_2$, где $x_2=\{x_0,x_1,x_2\}$ предикатную букву $A$ интерпретируем как $x_2$, поскольку $x_2$ подмножество носителя и константный знак $a$ интерпретируем так же, поскольку $x_2$ - элемент носителя. Истинна ли $A(a)$? Поскольку $x_2\in x_2$, да