2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 09:38 


13/07/17
179
Изображение
Даны прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ и прямоугольный равнобедренный треугольник $BCD$ с прямым углом $D$ и основанием $BC$. Треугольники имеют общую сторону $BC$.
Доказать, что отрезок $AD$ делит угол $BAC$ пополам.
Не знаю, как подступиться к этой задаче. Максимум, на что меня хватает, это дорисовать окружность на отрезке $BC$ как на диаметре, и тогда все возможные точки $A$ будут располагаться на этой окружности. А дальше тупик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 09:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ragnarek в сообщении #1373983 писал(а):
Максимум, на что меня хватает, это дорисовать окружность на отрезке $BC$ как на диаметре.

Дык дальше всё, задача решена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 10:01 


05/09/16
12038
ragnarek в сообщении #1373983 писал(а):
Максимум, на что меня хватает, это дорисовать окружность на отрезке $BC$ как на диаметре, и тогда все возможные точки $A$ будут располагаться на этой окружности.
Да, и в эту окружность оказываются вписаны оба треугольника, раз они оба прямоугольные с общей гипотенузой. На дугу $BD$ опираются два угла :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 10:06 


13/07/17
179
Munin, wrest
Это какая-то теорема? Я не могу понять, извините. Почему угол делится ровно пополам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 10:08 


05/09/16
12038
ragnarek в сообщении #1373988 писал(а):
Это какая-то теорема?

Теорема такая, что если два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, то...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 10:09 


13/07/17
179
wrest
Все, теперь понял, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 10:13 


05/09/16
12038
ragnarek в сообщении #1373990 писал(а):
Все, теперь понял, спасибо.
Ну тогда распишите что и как, а то мало ли...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 10:16 


13/07/17
179
wrest
Углы $BCD$ и $BAD$ равны как опирающиеся на одну дугу. А так как угол $BCD$ равен 45 градусам, то угол $BAC$ делится пополам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 10:27 


05/09/16
12038
ragnarek в сообщении #1373992 писал(а):
А так как угол $BCD$ равен 45 градусам, то угол $BAC$ делится пополам.
Не хватает одного шага. Мне кажется, что вы не поняли почему он делится пополам. Хорошо, а если $\angle BCD$ не равен $45^{\circ}$, что тогда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 10:32 


13/07/17
179
wrest
Если угол $BCD$ не равен $45^0$, тогда прямой угол $BAC$ не будет делиться на два угла по $45^0$ :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 10:41 
Аватара пользователя


27/02/12
3883
Наверное, лучше сказать, что сравниваемые углы опираются на равные (т.к. хорды равны) дуги BD и DC.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 10:44 


05/09/16
12038
ragnarek в сообщении #1373995 писал(а):
Если угол $BCD$ не равен $45^0$, тогда прямой угол $BAC$ не будет делиться на два угла по $45^0$ :)

Да, теперь нужный шаг сделан.

Но можно было и по другому. Раз треугольник $BDC$ равнобедренный, то углы $CBD$ и $BCD$ равны.
А раз оба треугольника прямоугольные с обще гипотенузой, то четырехугольник $ABCD$ вписанный, причем $BC$ - диаметр. Но из теоремы про вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, мы получаем не только $\angle BCD = \angle BAD$ но и $\angle CBD = \angle CAD$ откуда $\angle BAD = \angle DAC$ -- тут нам не надо вычитать $90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$, мы получаем решение, так сказать, "напрямую".

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 10:44 


13/07/17
179
miflin
Да, это ответ лаконичнее и очевиднее, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение04.02.2019, 10:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ragnarek в сообщении #1373992 писал(а):
Углы $BCD$ и $BAD$ равны как опирающиеся на одну дугу.

Зачем так сложно? $\angle BAD$ и $\angle DAC$ опираются на равные дуги.

Пользуйтесь символами $\angle,\measuredangle,\triangle,\smile,\frown,\widehat{ABC},45^\circ,\square,\bigcirc,\parallel,\perp.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить геометрическую задачу
Сообщение05.02.2019, 12:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Повернём рисунок вокруг точки $D$ на $90^{\circ}$.
Сравниваемые углы лежат при основании равнобедренного треугольника.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group