Теорема Крамера о разложении (Теория Вероятностей)

[ProPupil]

Необходимо доказать следующую теорему:
Пусть $X$ и $Y$ - независимые случайные величины, и $X+Y$ - нормальная случайная величина. Тогда $X$ и $Y$ тоже нормальные величины.

В указании к решению сказано использовать характеристические функции.

Моя попытка: Пусть $X+Y \sim N(m,\sigma^2)$. Тогда характеристическая функция суммы имеет вид $\varphi_{X+Y}(t)=e^{imt-\frac{1}{2}t^2\sigma^2}$.

С другой стороны, поскольку $X$ и $Y$ независимы, то $\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$.

И вот здесь засада: если $X$ и $Y$ были бы одинаково распределёнными, то никаких проблем нет. Но у нас этого нет.

Мы можем разбить $m=m_1+m_2$ и $\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2$, пусть и не единственным образом. Но тогда надо доказывать, что другие разложения невозможны.

[podih]

ProPupil
Отнимите из вашего нормального распределения какую-нибудь явно не нормальную функцию. Это будет $X$. Вычитаемая функция $Y$. В сумме они дают нормальную функцию, что противоречит вашей теореме. Она неверна.

[пианист]

podih
А как насчет независимости?

[podih]

пианист
$X$ и $Y$ независимы. - В первой из них встроен датчик случайных величин, явно не зависящий от второй функции. Зависимость появляется при добавлении итоговой функции. Но теорема о добавлении ничего не выставляет.

[--mS--]

podih в сообщении #1373586 писал(а):

пианист
$X$ и $Y$ независимы. - В первой из них встроен датчик случайных величин, явно не зависящий от второй функции. Зависимость появляется при добавлении итоговой функции. Но теорема о добавлении ничего не выставляет.

Если предлагается взять нормальную $Z$ и отнять от неё какую-то с.в. $X$, то $X$ и $Z$, видимо, независимы? Поскольку ничего иного не сказано. Тогда $X$ и $Y=Z-X$ независимыми быть не могут, если только $X$ не константа. Однако константы в этой теореме тоже считаются (вырожденными) нормальными.

-- Сб фев 02, 2019 16:18:38 --

ProPupil в сообщении #1373569 писал(а):

Необходимо доказать следующую теорему:

Можно поискать доказательство в оригинальной работе Крамера. На немецком, правда: https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01180430
Можно почитать доказательство теоремы Скитовича (http://www.mathnet.ru/links/9a8de2fbe08 ... im3497.pdf, теорема 1) и комментарий Линника о том, как результат Крамера из неё сразу следует: http://www.mathnet.ru/links/831264ed6ba ... vp5014.pdf
Кроме того, доказательство теоремы Скитовича (но для случая непрерывных плотностей слагаемых) есть во 2 томе Феллера (гл. III, параграф 4).

Ну и наконец, в книжке Wlodzimierz Bryc "The Normal Distribution: Characterizations with Applications" (см http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/do ... 1&type=pdf page 29) есть короткое доказательство теоремы Крамера, которое уже не будет столь коротким, если включить все вспомогательные результаты.

[ProPupil]

--mS-- в сообщении #1373587 писал(а):

[quote="podih в
Можно поискать доказательство в оригинальной работе Крамера. На немецком, правда: https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01180430

Немецкий я знаю, но вот в свободном доступе оригинальной работы я не нашёл.

-- 02.02.2019, 14:53 --

Добавление. Нашёл доказательство здесь с использованием ТФКП: https://books.google.ru/books?id=tyXjBw ... em&f=false

[GAA]

На русском можно посмотреть доказательство близкое к оригинальному в книге
Г. Крамер «Случайные величины и распределения вероятностей», 1947.

И во втором томе Феллера есть, 1984, Гл XV, §8 Две характеризации нормального распределения.

ProPupil в сообщении #1373611 писал(а):

доказательство здесь с использованием ТФКП

Так вроде во всех "модификациях" доказательства используются сведения из ТФКП (например и в Рамачандран Б. Теория характеристических функций, 1975.)